مشتق تابع گامای اویلر

DigammaReImAbs

ادامه نوشته
+ نوشته شده در یکشنبه دوازدهم آبان ۱۳۸۷ ساعت ۵:۳۷ ب.ظ توسط مجید  | 

+ نوشته شده در یکشنبه دوازدهم آبان ۱۳۸۷ ساعت ۵:۱۶ ب.ظ توسط مجید  | 

تابع دلتا 2 (Delta Function)

دیگر اتحاد های دربرگیرنده ی مشتق تابع دلتا عبارت اند از

delta^'(-x)=-delta^'(x)

int_(-infty)^inftyf(x)delta^'(x-a)dx=-f^'(a)

(delta^'*f)(a)=int_(-infty)^inftydelta^'(a-x)f(x)dx=f^'(a)


ادامه نوشته
+ نوشته شده در یکشنبه دوازدهم آبان ۱۳۸۷ ساعت ۵:۱۴ ب.ظ توسط مجید  | 

دیورژانس (2)

برای مثال، معادله ی پیوستگی مکانیک سیالات بیان می کند که نرخی که بر اساس آن چگالی rho در هر عنصر حجمی بینهایت کوچک سیال کاهش می یابد،

ادامه نوشته
+ نوشته شده در یکشنبه دوازدهم آبان ۱۳۸۷ ساعت ۵:۱۱ ب.ظ توسط مجید  | 

عشق واقعی

درويشي قصه زير را تعريف مي کرد :


يکي بود يکي نبود
ادامه نوشته
+ نوشته شده در یکشنبه بیست و سوم تیر ۱۳۸۷ ساعت ۹:۵۳ ب.ظ توسط مجید  | 

 

عاشق                           عاشق تر

نبود در تار و پودش ديدي گفت عاشقه عاشق

@@@@@@@@   نبودش  @@@@@@@@@@

امشب همه جا حرف  از آسمون و مهتابه  ،  تموم خونه ديدار اين خونه

فقط خوابه ، تو كه رفتي هواي  خونه تب داره  ،  داره از درو ديوارش غم

عشق تو مي باره ، دارم مي ميرم از بس غصه خوردم ،  بيا بر گرد تا ازعشقت

نمردم، همون كه فكر نمي كردي نمونده پيشت، ديدي رفت ودل ما رو سوزوندش

حيات خونه دل مي گه درخت ها همه خاموشن، به جاي كفتر و  گنجشك  كلاغاي

سياه پوشن ، چراغ خونه  خوابيده  توي  دنياي خاموشي ،   ديگه  ساعت رو

طاقچه شده كارش فراموشي  ، شده كارش فراموشي  ،  ديگه  بارون نمي

باره  اگر چه  ابر سياه  ،  تو كه نيستي  توي  اين خونه ،  ديگه  آشفته

بازاريست  ،  تموم  گل ها خشكيدن مثل خار بيابون ها ،  ديگه  از

رنگ و رو رفته ، كوچه و خيابون ها ،،، من گفتم و يارم گفت

گفتيم و سفر كرديم،از دشت شقايق ها،با عشق گذركرديم

گفتم اگه من مردم ، چقدر به من وفاداري، عشقو

به فراموشي ،چند روزه تو مي سپاري

گفتم كه تو مي دوني،سرخاك

تو مي ميرم ، ولي

تا لحظه مردن

نمي گيرم

دل از

تو

عاشقانهheart-broken-128x128.png BROKEN HEART image by angel_ica2008


+ نوشته شده در شنبه پانزدهم تیر ۱۳۸۷ ساعت ۳:۱۴ ب.ظ توسط مجید  | 

جبر خطی

جبر خطّی شاخه‌ای از ریاضیات است که به بررسی و مطالعۀ ماتریس‌ها، بردارها، فضاهای برداری (فضاهای خطّی)، تبدیلات خطی، و دستگاه‌های‌ معادلات خطی می‌پردازد.

 کاربردها

جبر خطّی و کارائی‌های فراوان و گوناگون آن در ریاضیات و محاسبات گسسته طیف گسترده و وسیعی را شامل می گردد. علاوه بر کاربردهای آن در زمینه‌هایی از خود ریاضیات همانند جبر مجرد، آنالیز تابعی، هندسۀ تحلیلی، و آنالیز عددی، جبر خطّی استفاده‌های وسیعی نیز در فیزیک، [[]] مهندسی، علوم طبیعی، و علوم اجتماعی پیدا‌کرده است.

 مقدمه

آغاز نمودن مبحثی با اهمیت و همه‌جاگیری جبر خطی یکی از دشوار‌ترین کارهاست، چرا که، با جهت‌گیری‌ها، تعبیرات، تعمیمات، و آینده‌بینی‌های زیادی روبرو می‌شویم. شاید یکی از انتخاب‌های مناسب این گونه باشد:

ماتریس و بردار زیر را در نظر می‌گیریم:

M = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{bmatrix}, v = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ \end{bmatrix}

با ضرب ماتریس و بردار داریم:

M v = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ \end{bmatrix} = w

نتیجهٔ فوق را می‌توان در تراز‌های معنائی گوناگونی مورد دقت و بررسی قرار داد. برخی از ملاحظات این گونه است:

ماتریس M به عنوان عمل‌گری بر روی بردار v عمل نموده و آنرا به بردار w تبدیل کرده است. M می‌تواند ثابت انگاشته شده و دستگاهی ساده را نمایندگی کند، که در آن صورت، بردار v اطلاعات یا داده‌هایی را می‌نمایاند که به نوعی به سیستم داده شده است.

سیستم M درست مثل پردازش‌گری اطلاعات را به دانش تبدیل می‌کند. شاید یکی از روشن‌ترین مثال‌های کوتاه برای مفهوم فرایند تبدیل اطلاعات به دانش همین باشد.

 مقادیر خاص

مقالهٔ اصلی: مسئلهٔ مقادیر خاص

مقادیر خاص و بردارهای خاص از جملهٔ پرکاربردترین و جوهری‌ترین مؤلفه‌های ماتریس‌ها و عمل‌گر‌های خطی می‌باشد. مفهوم و عملکرد این اشیاء ریاضی را باید از جنس تلخیص، فشرده‌سازی اطلاعات، و ساده و آسان حل کردن مسائل خطی دشوار دانست.

 فضاهای برداری

مقالهٔ اصلی: فضاهای برداری

از آن‌جا که بسیاری از کمیت‌های فیزیکی مثل نیرو، سرعت، و شتاب هم اندازه (بزرگی) دارند و هم راستا، آن‌ها را بردار نامیده‌اند.

جبر خطی عددی

مقالهٔ اصلی: جبر خطی عددی

 مطالب وابسته

  • جبر خطی عددی
  • مسئله مقادیر خاص
  •  

    جبر خطی عددی (Numerical linear algebra) مطالعۀ الگوریتم‌ها و کاربرد‌های جبر خطّی در زمینه‌های متنوّع محاسبات علمی مدرن را شامل می‌گردد.

     تجزیۀ مقدارهای منفرد

    مقالۀ اصلی: تجزیه مقدارهای منفرد
    تجزیه مقدارهای منفرد (Singular value decomposition) در حکم همان تجزیه مقدارهای خاص (Eigenvalue decomposition) است ولی بیشتر برای ماتریس‌های غیر مربّع. بر خلاف مقدارهای خاص که تنها و تنها در مورد ماتریس‌های مربّع مصداق دارند و می‌توانند منفی نیز باشند، مقدارهای منفرد برای همۀ ماتریس‌ها، چه مربع و چه غیر آن مفهوم دارند و هیچ‌گاه منفی نمی‌شوند

+ نوشته شده در پنجشنبه سیزدهم تیر ۱۳۸۷ ساعت ۱۲:۵۲ ب.ظ توسط مجید  | 

جبر مجرد

جبر مجرّد شاخه‌ای‌ست از ریاضیات که به بررسی ساختارهای جبری مثل گروه، حلقه، و میدان می‌پردازد. آغاز تعریف رسمی این گونه ساختارها به قرن نوزدهم (م) باز می‌گردد.

اصطلاح «جبر مجرّد» در برابر «جبر مقدّماتی» یا «جبر دبیرستانی» به‌کار می‌رود. در حدود نیمه اوّل قرن بیستم این رشته را «جبر مدرن» می‌نامیدند.

جبر مجرد مقدماتی،اشیاء و اعمال ریاضی را،فارغ از ماهیت آنها بررسی می کند. اعداد، توابع، ماتریسها،از عناصر آن و اعمال دوتایی ضرب،ترکیب توابع و ... از اعمال آن به شمار می آیند.دسته بندی گروهها و حلقه ها از موضوعات اساسی این شاخه به حساب می آیند.برخی شاخه های هندسی با جبر مجرد ارتباط پیدا می کنند.

جبر مقدماتی بهمراه جبر مجرد و جبر خطی سه شاخه ی اصلی دستگاه جبر را تشکیل میدهند

تجرید (Abstraction) در ریاضیّات از فرآیند تشخیص و استخراج یک جوهره و مفهوم ریاضی اصلی، کلّی، و فراگیر شروع می‌شود. چنانچه وجود و حضور این جوهره و مفهوم خاصّ در تک تک موارد جزئی مورد بررسی صادق باشد، امر اختصار و ساده‌تر کردن عبارات را می‌توان با جدا نمودن و حذف جزئیّات گوناگون از این لایه خاصّ ادامه داد.

برای مثال، می‌توان عبارت زیر را در نظر گرفت:

دو میز + دو کتاب + دو قلم + دو لیوان + دو دفتر + دو خط کش + ...

جهت اجراء فرایند تجرید، می‌شود مفهوم دو تا بودن را که در مورد همهء جمله‌ها صدق می‌کند، از میان برداشته و آنرا در لایه‌ی بالاتری قرار داد. عبارت فوق خواهد شد:

دو(میز + کتاب + قلم + لیوان + دفتر + خط کش + ...)

عبارت جدید کوتاه‌تر شده است، و مفهوم کلّی تر عدد دو بودن که در آن مجرّد و مجزا شده، هنوز هم به همهء جملات جزئی در درون پرانتز تعلّق دارد. همین کار را، حالا می شود با اعداد دیگر مثل سه، چهار، پنج، شش، و ... تکرار کرد. پس، تراز و لایه‌ای نو پدیدار گردیده‌است که در آن فقط مفاهیم مجردی به این صورت قرار دارد:

دو، سه، چهار، پنج، شش، ...

از خود می‌پرسیم، حالا چه جوهرهء مشترک کلّی‌تری را می‌شود از این لایهء جدید جدا کرد؟ جواب: مفهوم عامّ‌تر و همه‌جا‌گیر‌تر عدد طبیعی بودن را؛ هر عدد طبیعیی بودن را.

این همان شروع و آغاز جبر است. از همین نقطه است که مفهومی مجرّد و ذهنی موسوم به متغیّر تولّد می یابد.

 مطالب وابسته

 
+ نوشته شده در پنجشنبه سیزدهم تیر ۱۳۸۷ ساعت ۱۲:۴۸ ب.ظ توسط مجید  | 

حلقه ها

:گسترش در ریاضیات و جبر مجرد، حلقه‌ای را که در آن عمل ضرب خاصیت جابجایی داشته باشد، حلقه جابجایی می‌گویند.
+ نوشته شده در پنجشنبه سیزدهم تیر ۱۳۸۷ ساعت ۱۲:۴۶ ب.ظ توسط مجید  | 

حلقه ها

حلقه گروهی آبلی جمعی بانضمام نیمگروهی ضربی است که ضرب نسبت به جمع توزیع‌پذیر باشد. مثلاً اعداد صحیح این ویژگی را دارند. اگر نیمگروه ضربی مونوئید باشد حلقه را یکدار گوییم و اگر جابجایی باشد حلقه را جابجایی گوییم
+ نوشته شده در پنجشنبه سیزدهم تیر ۱۳۸۷ ساعت ۱۲:۴۵ ب.ظ توسط مجید  | 

نظریه حلقه ها- اعداد صحیح

مجموعهٔ اعداد صحیح به اجتماع مجموعهٔ اعداد طبیعی، قرینهٔ اعداد طبیعی ، و {0} (مجموعه ای که تنها عدد صفر عضو آن است) گفته می‌شود. در ریاضیّات، معمولاً این مجموعه را با Z یا \mathbb{Z} (ابتدای کلمه آلمانی Zahlen به معنی اعداد) نشان می‌دهند. همانند مجموعهٔ اعداد طبیعی، مجموعهٔ اعداد صحیح نیز یک مجموعهٔ شمارای نامتناهی‌ست.

شاخه‌ای از ریاضیّات که به مطالعهٔ اعداد صحیح می‌پردازد، نظریهٔ اعداد نام دارد.

 خواص جبری

همانند اعداد طبیعی، \mathbb{Z} نیز نسبت به دو عمل جمع و ضرب بسته است. این بدان معناست که حاصل جمع و حاصل ضرب دو عدد صحیح، خود، یک عدد صحیح است. بر خلاف مجموعهٔ اعداد طبیعی، از آنجا که اعداد صحيح منفی، و به ویژه، عدد صفر هم به \mathbb{Z} تعلق دارند، این مجموعه، نسبت به عمل تفریق نیز بسته است. اما \mathbb{Z} تحت عمل تقسیم بسته نیست، زیرا خارج قسمت تقسیم دو عدد صحیح، لزوما عددی صحیح نخواهد بود.

برخی از خواصّ اساسی مربوط به عملیّات جمع و ضرب در جدول زیر گنجانیده شده است (در اینجا b ،a، و c اعداد صحیح دل‌خواه هستند:)

جمع ضرب
بسته بودن: a + b   یک عدد صحیح است a × b   یک عدد صحیح است
شرکت پذیری: a + (b + c)  =  (a + b) + c a × (b × c)  =  (a × b) × c
تعویض پذیری: a + b  =  b + a a × b  =  b × a
وجود یک عنصر واحد: a + 0  =  a a × 1  =  a
وجود یک عنصر عکس: a + (−a)  =  0
توزیع پذیری: a × (b + c)  =  (a × b) + (a × c)
نداشتن مقسوم علیه‌های صفر: اگر ab = 0، آنگاه a = 0 یا b = 0

مطابق جدول بالا، خواصّ بسته بودن، شرکت پذیری و جابه جایی (یا تعویض پذیری) نسبت به هر دو عمل ضرب و جمع، وجود عضو همانی (واحد، یا یکّه) نسبت به جمع و ضرب، وجود عضو معکوس فقط نسبت به عمل جمع، و خاصیّت توزیع پذیری ضرب نسبت به جمع از اهمیت برخوردارند.

در مبحث جبر مجرد، پنج خاصیّت اوّل در مورد جمع، نشان می‌دهد که مجموعهٔ \mathbb{Z} به همراه عمل جمع یک گروه آبلی است. امّا، از آن جا که \mathbb{Z} نسبت به ضرب عضو وارون (یا معکوس) ندارد، مجموعهٔ اعداد صحیح، به همراه عمل ضرب، گروه نمی‌سازد.

مجموعهٔ ویژگیهای ذکر شده حاکی از این است که \mathbb{Z}، به همراه عملیّات ضرب و جمع، یک حلقه است، امّا، به دلیل نداشتن وارون ضربی، میدان نیست. مجموعهٔ اعداد گویا را باید کوچک‌ترین میدانی دانست که اعداد صحیح را در بر می‌گیرد.

اگرچه تقسیم معمولی در اعداد صحیح تعریف شده نیست، خاصیّت مهمّی در مورد تقسیم وجود دارد که به الگوریتم تقسیم مشهور است. یعنی به ازاء هر دو عدد صحیح و دل‌خواه a و b) b مخالف صفر)، q و r منحصر به فردی متعلق به مجموعه اعداد صحیح وجود دارد، به طوریکه: a = q.b + r که در این جا، q خارج قسمت و r باقیمانده تقسیم a بر b است. این کار اساس الگوریتم اقلیدس برای محاسبه بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک را تشکیل می‌دهد.

همچنین در جبر مجرد، بر اساس خواصی که در بالا ذکر شد، \mathbb{Z} یک دامنه اقلیدسی است و در نتیجه \mathbb{Z} دامنه ایده‌آل اصلی می‌باشد و هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک را می‌توان به طور یکتا به حاصل‌ضرب اعداد اوّل تجزیه کرد (قضیه اساسی علم حساب.)

 مطالب وابسته

+ نوشته شده در پنجشنبه سیزدهم تیر ۱۳۸۷ ساعت ۱۲:۴۵ ب.ظ توسط مجید  | 

گروه آبلی

‫گروه آبلی یا گروه جابجایی‌پذیر یا گروه جابجایی، در ریاضیات، به مجموعه‌ای مانند G می‌گویند که دارای عملگری مانند * باشد و این عملگر در مجموعه G دارای خاصیت جابجایی باشد، یعنی برای هر a و b در G داشته باشیم: a * b = b * a ‫در این صورت می‌گوییم (*,G) «گروه آبلی» است
+ نوشته شده در پنجشنبه سیزدهم تیر ۱۳۸۷ ساعت ۱۲:۴۲ ب.ظ توسط مجید  | 

گروه

گروه در ریاضیات مجموعه‌ای است به همراه یک عمل دوتائی، مانند جمع یا ضرب که در مورد اعضای آن مجموعه تعریف شده است. مثلاً مجموعه اعداد صحیح همراه با عمل جمع (یا به اصطلاح رایج ریاضی‌دان‌ها "تحت عمل جمع") یک گروه است. آن بخش از ریاضیات که به بررسی ویژگی‌های گروه‌ها می‌پردازد نظریه گروه‌ها نام دارد.

گروهها به دو دسته متناهی و نامتناهی تقسیم میشوند.از جمله مفاهیم مربوط به آنها،گروه آبلی،گروه دوری،زیرگروه(مشابه زیر مجموعه) و غیره است. در واقع نظریه گروهها نوعی تعمیم از نظریه مجموعه ها است.وقتی یک گروه را با دو عمل دوتایی بهمراه برخی ویژگیها در نظر بگیریم،وارد حلقه ها و میدانها میشویم

+ نوشته شده در پنجشنبه سیزدهم تیر ۱۳۸۷ ساعت ۱۲:۴۲ ب.ظ توسط مجید  | 

هم مجموعه ها

هم مجموعه ها در نظریه گروه‌ها، از مفاهیم اساسی برای تعریف گروه خارج قسمت هستد و در سراسر نظریه گروه‌ها به آنها بر خورد می‌کنیم

 تعریف هم مجموعه

مفهوم هم مجموعه در حقیقت یک بیان کلی است و هم مجموعه‌ها بر دو نوع هم مجموعه راست و هم مجموعه چپ تعریف می‌شوند.

هم مجموعه راست

فرض کنید G یک گروه و H زیرگروهی از G باشد. رابطه \equiv_H موسوم به رابطه راست همنهشتی (یا برای تاکید، رابطه راست همنهشتی به هنگ H) را روی G به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

\forall a,b\in G:a\equiv_H\iff ab^{-1}\in H

به سادگی می‌توان تحقیق کرد که این رابطه یک رابطه هم ارزی روی G تعریف می‌کند. حال برای هر g∈G کلاس هم ارزی g نسبت به رابطه راست همنهشتی را با [g] نشان می‌دهیم و داریم:

[g]=\{a\in G:a\equiv_H g\}
=\{a\in G:ag^{-1}\in H\}
=\{a\in G:ag^{-1}=h,h\in H\}

پس:

[g]=\{hg:h\in H\}

حال با تغییر در نماد گذاری قرار می‌دهیم:

Hg=\{hg:h\in H\}

این مجموعه را اصطلاحاً، هم مجموعه(هم دسته) راست H در G تولید شده توسط g می‌گوییم.

تعریف
اگر H زیرگروهی از گروه G باشد، برای هر g∈G، مجموعه {Hg={hg:h∈G را یک هم مجموعه راست H در G تولید شده توسط عضو g می‌گوییم.

با توجه به تعریف و خواص کلاس‌های هم ارزی، خواص زیر را برای هر a,b∈G داریم:

  • Ha=Hb\iff ab^{-1}\in H
  • Ha=H\iff a\in H

توجه داشته باشید که خود H نیز یک هم مجموعه راست G است چون H=He.

توضیح نمادگذاری
از آنجا که دو نماد گذاری جمعی(+) و ضربی(.) برای نمایش عمل یک گروه وجود دارد می‌توان رابطه راست هم نشهتی را با نماد جمعی نیز تعریف نمود که در این صورت خواهیم داشت:
\forall a,b\in G:a\equiv_H\iff a-b\in H

و

H+g=\{h+g:h\in H\}

به عنوان مثال گروه {Z4 = {0, 1, 2, 3 را در نظر بگیرید. {H={0,2 زیرگروهی از Z4 است. در این صورت هم مجموعه‌های راست H در G عبارت‌اند از:

  • {H+0={0,2
  • {H+1={1,3

وضوحاً لازم به محاسبه H+2 و H+3 نیست چون هر یک از آنها بنابر خواص پیش تر ذکر شده به ترتیب با H+0 و H+1 برابر هستند.

در مثال فوق مشاهده می‌کنید که تعداد اعضای هم مجموعه‌های راست متمایز H در G با هم برابر است. آیا همواره چنین است؟ قضیه زیر به این پرسش پاسخ مثبت می‌دهد.

قضیه
فرض کنید H زیرگروهی از گروه G باشد. در این صورت بین هم مجموعه‌های راست متمایز H در G یک تناظر یک به یک برقرار است.
برهان
فرض کنید Ha,Hb دو هم مجموعه راست متمایز H در G باشند. تابع \phi:Ha\to Hb را با ضابطه برای هر ha∈Ha، φ(ha) = hb تعریف می‌کنیم. در این صورت به آسانی می‌توان تحقیق نمود که این تابع یک تناظر یک به یک(تابعی یک به یک و پوشا) از Ha به Hb است و برهان قضیه کامل می‌شود.

این مطلب نتیجه‌ای مهم و در عین حال ساده در بر دارد و آن این است که چون خود H نیز یک هم مجموعه راست G است، برای هر g∈G تعداد اعضای Hgبا تعداد اعضای H برابر است. یعنی تعداد عناصر همه هم مجموعه‌های H در G برابر با تعداد عناصر H است. این مطلب خصوصاً در اثبات قضیه لاگرانژ نقش اساسی ایفا می‌کند.

هم مجموعه چپ

طبیعی است که همانطور هم مجموعه راست زیرگروه H از گروه G را تعریف کردیم، هم مجموعه چپ آن را نیز تعریف کنیم. برای این منظور رابطه {}_H\! \equiv موسوم به رابطه چپ همنهشتی(یا برای تاکید، رابطه چپ همنهشتی به هنگ H)، را روی گروه G به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

\forall a,b\in G:a{}_H\! \equiv b\iff a^{-1}b\in H

در این صورت همانند رابطه راست همنهشتی، این رابطه نیز یک رابطه هم ارزی در G است و برای هر g∈G کلاس هم ارزی g عبارت است از:

[g]=\{gh:h\in H\}

که باز با تغییر نماد گذاری این مجموعه را با

gH=\{gh:h\in H\}

نشان می‌دهیم و آن را یک هم مجموعه چپ H در G تولید شده توسط g می‌گوییم.

تعریف
اگر H زیرگروهی از گروه G باشد، برای هر g∈G، مجموعه {gH={gh:h∈G را یک هم مجموعه H در G تولید شده توسط عضو g می‌گوییم.

با توجه به تعریف و خواص کلاس‌های هم ارزی، خواص زیر را برای هر a,b∈G داریم:

  • aH=bH\iff a^{-1}b\in H
  • aH=H\iff a\in H

توجه داشته باشید، چون eH=H پس H نیز یک هم مجموعه چپ در G است.

همانطور که میان هم مجموعه‌های راست H در G، تناظر یک به یک برقرار است میان هم مجموعه‌های چپ H در G نیز یک تناظر یک به یک برقرار است. به عبارت دقیق تر اگر aH,bH دو هم مجموعه چپ متمایز H در G باشند، تابع \phi :aH\to bH با ضابطه برای هر ah∈aH، φ(ah) = bh یک تناظر یک به یک است.

بنابراین دیدم که چگونه با تعریف یک رابطه هم ارزی روی گروه G هم مجموعه‌های راست و چپ را به عنوان کلاس‌های هم ارزی تعریف کردیم. نکته جالب توجه این است چون یک رابطه هم ارزی روی یک مجموعه، آن مجموعه را به کلاس‌های هم ارزی خود افراز می‌کند، که اگر H زیرگروه گروه G باشد، در این صورت مجموعه همه هم مجموعه‌های متمایز H در G(راست یا چپ) یک افراز برای G می‌باشند. این مطلب اساس قضیه لاگرانژ را تشکیل می‌دهد.

 رابطه بین هم تعداد هم مجموعه‌های راست و چپ

نکته جالب و در مورد هم مجموعه‌های راست و چپ زیرگروه H از گروه G این است که تعداد آنها با هم برابر است. به عبارت دقیق تر قضیه زیر را داریم.

قضیه
اگر H زیرگروه گروه G باشد، بین هم مجموعه‌های متمایز راست H در G و هم مجموعه‌های متمایز چپ H در G، یک تناظر یک به یک برقرار است.
برهان
فرض می‌کنیم \mathcal{R} مجموعه همه هم مجموعه‌های متمایز راست H در G و \mathcal{L} مجموعه همه هم مجموعه‌های متمایز چپ Hدر G باشد. در این صورت تابع \phi:\mathcal{R}\to \mathcal{L} با ضابطه برای هر Ha∈R φ(Ha) = a − 1H تابعی یک به یک و پوشا است و برهان کامل می‌شود.

این مطلب نشان می‌دهد در بسیاری از موارد در اثبات قضایا و تعاریف، تفاوت چندانی میان هم مجموعه‌های راست و چپ H در G وجود ندارد. یک نمونه از این موارد تعریف اندیس زیرگروه است.

 اندیس زیرگروه

اگر G یک گروه و H زیرگروهی از G باشد، در این صورت تعداد هم دسته های(راست یا چپ) H در G را اندیس یا شاخص H در G می‌گوییم و آن را با نماد‌های [G:H] یا (iG(H نشان می‌دهیم.

 زیرگروه‌های نرمال

از جمله مهم‌ترین مفاهیم در نظریه گروه‌ها زیرگروه نرمال می‌باشد که به کمک هم مجموعه‌ها تعریف می‌شوند.

فرض کنید G یک گروه باشد. در این صورت رده‌ای از زیر گروه‌های G دارای این ویژگی هستند که هم مجموعه‌های راست و چپ آنها به ازای هر عضو G یکسان است. این زیرگروه‌های خاص از G را زیرگروه‌های نرمال می‌نامیم.

بنابر این زیرگروه H از گروه G را نرمال می‌گوییم اگر برای هر g∈G داشته باشیم gH=Hg.

  مطالب وابسته

+ نوشته شده در پنجشنبه سیزدهم تیر ۱۳۸۷ ساعت ۱۲:۴۱ ب.ظ توسط مجید  | 

تعریف

در جبر به یک میدان بسته گویند اگر تمام چند‌جمله‌ای‌هایی که ضرایبش از اعضای میدانند، حداقل یک ریشه داخل میدان داشته‌باشند
+ نوشته شده در پنجشنبه سیزدهم تیر ۱۳۸۷ ساعت ۱۲:۳۹ ب.ظ توسط مجید  | 
مطالب جدیدتر مطالب قدیمی‌تر