X
تبلیغات
حل مسائل ریاضی ونرم افزارهای..رشته ریاضی - ریاضی عمومی

حل مسائل ریاضی ونرم افزارهای..رشته ریاضی

حل مسائل گراف و جبرریاضی عمومی معرفی نرم افزارها..با كمك بچه هاي رشته رياضي

انتگرالگیری مسیری (Contour integration) فرایندی است که طی آن مقادیر یک انتگرال مسیری حول یک منحنی ساده ی بسته ی فرضی (contour) در صفحه ی مختلط (complex plane) محاسبه می شوند. به عنوان یک نتیجه ی شفت انگیز و جالب توابع هولومورفیک (holomorphic functions)، چنین انتگرال هایی به راحتی می توانند با جمع مقادیر مانده های مختلط (complex residues) داخل منحنی محاسبه شوند.

ContourIntegral

.


ادامه مطلب
+ نوشته شده در  یکشنبه دوازدهم آبان 1387ساعت 5:39 بعد از ظهر  توسط مجید  | 

دیگر اتحاد های دربرگیرنده ی مشتق تابع دلتا عبارت اند از

 delta^'(-x)=-delta^'(x)

 int_(-infty)^inftyf(x)delta^'(x-a)dx=-f^'(a)

 (delta^'*f)(a)=int_(-infty)^inftydelta^'(a-x)f(x)dx=f^'(a)



ادامه مطلب
+ نوشته شده در  یکشنبه دوازدهم آبان 1387ساعت 5:14 بعد از ظهر  توسط مجید  | 

برای مثال، معادله ی پیوستگی مکانیک سیالات بیان می کند که نرخی که بر اساس آن چگالی rho در هر عنصر حجمی بینهایت کوچک سیال کاهش می یابد،


ادامه مطلب
+ نوشته شده در  یکشنبه دوازدهم آبان 1387ساعت 5:11 بعد از ظهر  توسط مجید  | 

انتگرال arc

 
 
\int \operatorname{arcsinh}\, x \, dx  = x\, \operatorname{arcsinh}\, x - \sqrt{x^2+1} + C
\int \operatorname{arccosh}\, x \, dx  = x\, \operatorname{arccosh}\, x - \sqrt{x^2-1} + C
\int \operatorname{arctanh}\, x \, dx  = x\, \operatorname{arctanh}\, x + \frac{1}{2}\log{(1-x^2)} + C
\int \operatorname{arccsch}\,x \, dx = x\, \operatorname{arccsch}\, x+ \log{\left[x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} + 1\right)\right]} + C
\int \operatorname{arcsech}\,x \, dx = x\, \operatorname{arcsech}\, x- \arctan{\left(\frac{x}{x-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)} + C
\int \operatorname{arccoth}\,x \, dx  = x\, \operatorname{arccoth}\, x+ \frac{1}{2}\log{(x^2-1)} + C
+ نوشته شده در  چهارشنبه پنجم تیر 1387ساعت 4:30 بعد از ظهر  توسط مجید  | 

انتگرال 1/sinhax

1.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{\sinh ax}=\displaystyle \frac{1}{a}\ln\tanh\displaystyle \frac{ax}{2}$

2.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{\sinh^2 ax}=-\displaystyle \frac{\coth ax}{a}$

3.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{\sinh^3 ax}=-\displaystyle \frac{\coth ax}{2a\sinh ax}-\displaystyle \frac{1}{2a}\ln\tanh\displaystyle \frac{ax}{2}$

4.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{\coth ax}{\sinh^n ax}dx=-\displaystyle \frac{1}{na\sinh^n ax}$

5.
$\displaystyle\int\sinh ax dx=\displaystyle \frac{1}{a}\cosh ax$

6.
$\displaystyle\int \displaystyle \frac{x dx}{\sinh ax}=\displaystyle \frac{1}{a^...
...tyle \frac{2(-1)^n(2^{2n-1}-1)B_n(ax)^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdot\cdot\cdot \right\}$

where the constants Bn are the Bernoulli's numbers.

7.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{x dx}{\sinh^2 ax}=-\displaystyle \frac{x\coth ax}{a}+\displaystyle \frac{1}{a^2}\ln\sinh ax$

8.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{x\sinh ax}=-\displaystyle \frac{1}{ax}...
...aystyle \frac{(-1)^n 2(2^{2n-1}-1)B_n(ax)^{2n-1}}{(2n-1)(2n)!}+\cdot\cdot\cdot $

where the constants Bn are the Bernoulli's numbers.

9.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{q+p/\sinh ax}=\displaystyle \frac{x}{q}-\displaystyle \frac{p}{q}\int\displaystyle \frac{dx}{p+q/\sinh ax}$

10.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{\sinh^n ax}=\displaystyle \frac{-\coth...
...2} ax}-\displaystyle \frac{n-2}{n-1}\int\displaystyle \frac{dx}{\sinh^{n-2} ax}$

+ نوشته شده در  چهارشنبه پنجم تیر 1387ساعت 4:15 بعد از ظهر  توسط مجید  | 

انتگرال coth

1.
$\displaystyle\int\coth ax dx=\displaystyle \frac{1}{a}\ln\sinh ax$

2.
$\displaystyle\int\coth^2 ax dx=x-\displaystyle \frac{\coth ax}{a}$

3.
$\displaystyle\int\coth^3 ax dx=\displaystyle \frac{1}{a}\ln\sinh ax-\displaystyle \frac{\coth^2 ax}{2a}$

4.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{\coth^n ax}{\sinh^2 ax}dx=-\displaystyle \frac{\coth^{n+1}ax}{(n+1)a}$

5.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{\coth ax\sinh^2 ax}=-\displaystyle \frac{1}{a}\ln\coth ax$

6.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{\coth ax}=\displaystyle \frac{1}{a}\ln\cosh ax$

7.
$\displaystyle\int x\coth axdx=\displaystyle \frac{1}{a^2}\left\{ax+\displaystyl...
...ystyle \frac{(-1)^{n-1}2^{2n}B_n(ax)^{2n+1}}{(2n+1)!}+ \cdot\cdot\cdot \right\}$

where the constants Bn are the Bernoulli's numbers.

8.
$\displaystyle\int x \coth^2 ax dx=\displaystyle \frac{x^2}{2}-\displaystyle \frac{x\coth ax}{a}+\displaystyle \frac{1}{a^2}\ln\sinh ax$

9.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{\coth ax}{x}dx=-\displaystyle \frac{1}{ax}...
...t \displaystyle \frac{(-1)^n 2^{2n}B_n(ax)^{2n-1}}{(2n-1)(2n)!}+\cdot\cdot\cdot$

where the constants Bn are the Bernoulli's numbers.

10.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{p+q\coth ax}=\displaystyle \frac{px}{p^2-q^2}-\displaystyle \frac{q}{a(p^2-q^2)}\ln(p\sinh ax+q\cosh ax)$

11.
$\displaystyle\int\coth^n ax dx=-\displaystyle \frac{\coth^{n-1}ax}{a(n-1)}+\int\coth^{n-1}axdx$

+ نوشته شده در  چهارشنبه پنجم تیر 1387ساعت 4:13 بعد از ظهر  توسط مجید  | 

انتگرال tgh

1.
$\displaystyle\int\tanh ax dx=\displaystyle \frac{1}{a}\ln\cosh ax$

2.
$\displaystyle\int\tanh^2 axdx=x-\displaystyle \frac{\tanh ax}{a}$

3.
$\displaystyle\int\tanh^3 axdx=\displaystyle \frac{1}{a}\ln\cosh ax-\displaystyle \frac{\tanh^2 ax}{2a}$

4.
$\displaystyle\int\tanh^n ax\cosh^{-2} ax dx=\displaystyle \frac{\tanh^{n+1}ax}{(n+1)a}$

5.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{\cosh^{2}ax\tanh ax}dx=\displaystyle \frac{1}{a}\ln\tanh ax$

6.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{\tanh ax}=\displaystyle \frac{1}{a}\ln\sinh ax$

7.
$\displaystyle\int x\tanh ax dx=\displaystyle \frac{1}{a^2}\left\{\displaystyle ...
...frac{(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_n(ax)^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdot\cdot\cdot\right\}$

where the constants Bn are the Bernoulli's numbers.

8.
$\displaystyle\int x\tanh^2 axdx=\displaystyle \frac{x^2}{2}-\displaystyle \frac{x\tanh ax}{a}+\displaystyle \frac{1}{a^2}\ln\cosh ax$

9.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{\tanh ax}{x}dx= ax-\displaystyle \frac{(ax...
...displaystyle \frac{(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_n(ax)^{2n-1}}{(2n-1)(2n)!}+\cdot$

where the constants Bn are the Bernoulli's numbers.

10.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{p+q\tanh ax}=\displaystyle \frac{px}{p^2-q^2}-\displaystyle \frac{q}{a(p^2-q^2)}\ln(q\sinh ax+p\cosh ax)$

11.
$\displaystyle\int\tanh^n axdx=\displaystyle \frac{-\tanh^{n-1}ax}{a(n-1)}+\int\tanh^{n-2}axdx$

+ نوشته شده در  چهارشنبه پنجم تیر 1387ساعت 4:12 بعد از ظهر  توسط مجید  | 

انتگرال sinh,cosh

1.
$\displaystyle\int\sinh ax\cosh ax dx=\displaystyle \frac{\sinh^2 ax}{2a}$

2.
$\displaystyle\int\sinh px\cosh qx dx=\displaystyle \frac{\cosh(p+q)x}{2(p+q)}+\displaystyle \frac{\cosh(p-q)x}{2(p-q)}$

3.
$\displaystyle\int\sinh^n ax\cosh ax dx=\displaystyle \frac{\sinh^{n+1}ax}{(n+1)a}$

4.
$\displaystyle\int\cosh^n ax\sinh ax dx=\displaystyle \frac{\cosh^{n+1}ax}{(n+1)a}$

5.
$\displaystyle\int\sinh^2 ax \cosh^2 ax dx=\displaystyle \frac{\sinh 4ax}{32a}-\displaystyle \frac{x}{8}$

6.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{\sinh ax\cosh ax}=\displaystyle \frac{1}{a}\ln\tanh ax$

7.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{\sinh^2 ax\cosh ax}=-\displaystyle \frac{1}{a}\tan^{-1}\sinh ax-\displaystyle \frac{1}{a\sinh ax}$

8.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{\sinh ax\cosh^2 ax}=\displaystyle \frac{1}{a\cosh ax}+\displaystyle \frac{1}{a}\ln\tan\displaystyle \frac{ax}{2}$

9.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{\sinh^2 ax \cosh^2 ax}=-\displaystyle \frac{2 \coth 2ax}{a}$

10.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{\sinh^2 ax}{\cosh ax}dx=\displaystyle \frac{\sinh ax}{a}-\displaystyle \frac{1}{a}\tan^{-1}\sinh ax$

11.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{\cosh^2 ax}{\sinh ax}dx=\displaystyle \frac{\cosh ax}{a}+\displaystyle \frac{1}{a}\ln\tan\displaystyle \frac{ax}{2}$

12.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{\cosh ax(1+\sinh ax)}=\displaystyle \f...
...yle \frac{1+\sinh ax}{\cosh ax}\right)+\displaystyle \frac{1}{a}\tan^{-1}e^{ax}$

13.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{\sinh ax(\cosh ax+1)}=\displaystyle \f...
...1}{2a}\ln\tanh\displaystyle \frac{ax}{2}+\displaystyle \frac{1}{2a(\cosh ax+1)}$

14.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{\sinh ax(\cosh ax-1)}=-\displaystyle \...
...1}{2a}\ln\tanh\displaystyle \frac{ax}{2}-\displaystyle \frac{1}{2a(\cosh ax-1)}$

+ نوشته شده در  چهارشنبه پنجم تیر 1387ساعت 4:10 بعد از ظهر  توسط مجید  | 

انتگرال cosh

1.
$\displaystyle\int\cosh axdx=\displaystyle \frac{\sinh ax}{a}$

2.
$\displaystyle\int x\cosh axdx=\displaystyle \frac{x\sinh ax}{a}-\displaystyle \frac{\cosh ax}{a^2}$

3.
$\displaystyle\int x^2\cosh axdx=-\displaystyle \frac{2x\cosh ax}{a^2}+\left( \displaystyle \frac{x^2}{a}+\displaystyle \frac{2}{a^3}\right) \sinh ax$

4.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{\cosh ax}{x}dx=\ln x+\displaystyle \frac{(...
...\frac{(ax)^4}{4\cdot 4!}+\displaystyle \frac{(ax)^6}{6\cdot 6!}+\cdot\cdot\cdot$

5.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{\cosh ax}{x^2}dx=-\displaystyle \frac{\cosh ax}{x}+a\int\displaystyle \frac{\sinh ax}{x}dx$

6.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{\cosh ax}=\displaystyle \frac{2}{a}\tan^{-1e^{ax}}$

7.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{x dx}{\cosh ax}=\displaystyle \frac{1}{a^2...
...playstyle \frac{(-1)^n E_{n}(ax)^{2n+2}}{(2n+2)(2n)!}+ \cdot\cdot\cdot \right\}$

where the constants En are the Euler's numbers.

8.
$\displaystyle\int\cosh^2 ax dx=\displaystyle \frac{x}{2}+\displaystyle \frac{\sinh ax \cosh ax}{2}$

9.
$\displaystyle\int x\cosh^2 ax dx=\displaystyle \frac{x^2}{4}+\displaystyle \frac{x\sinh 2ax}{4a}-\displaystyle \frac{\cosh 2ax}{8a^2}$

10.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{\cosh^2 ax}=\displaystyle \frac{\tanh ax}{a}$

11.
$\displaystyle\int\cosh ax\cosh px dx=\displaystyle \frac{\sinh(a-p)x}{2(a-p)}+\displaystyle \frac{\sinh(a+p)2}{2(a+p)}$

12.
$\displaystyle\int\cosh ax\sin px dx=\displaystyle \frac{a\sinh ax\sin px -p\cosh ax\cos px}{a^2+p^2}$

13.
$\displaystyle\int\cosh ax \cos pxdx=\displaystyle \frac{a\sinh ax\cos px+p\cosh ax\sin px}{a^2+p^2}$

14.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{\cosh ax+1}=\displaystyle \frac{1}{a}\tanh\displaystyle \frac{ax}{2}$

15.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{\cosh ax-1}=-\displaystyle \frac{1}{a}\coth\displaystyle \frac{ax}{2}$

16.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{x dx}{\cosh ax+1}=\displaystyle \frac{x}{a...
...tyle \frac{ax}{2}-\displaystyle \frac{2}{a^2}\ln\cosh\displaystyle \frac{ax}{2}$

17.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{x dx}{\cosh ax-1}=-\displaystyle \frac{x}{...
...tyle \frac{ax}{2}+\displaystyle \frac{2}{a^2}\ln\sinh\displaystyle \frac{ax}{2}$

18.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{(\cosh ax+1)^2}=\displaystyle \frac{1}...
...ystyle \frac{ax}{2}-\displaystyle \frac{1}{6a}\tanh^3\displaystyle \frac{ax}{2}$

19.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{(\cosh ax-1)^2}=\displaystyle \frac{1}...
...ystyle \frac{ax}{2}-\displaystyle \frac{1}{6a}\coth^3\displaystyle \frac{ax}{2}$

20.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{p+q\cosh ax}=\left\{ \begin{array}{ll}...
...rt{p^2-q^2}}{qe^{ax}+p+\displaystyle \sqrt{p^2-q^2}}\right)
\end{array}\right. $

21.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{(p+q\cosh ax)^2}=\displaystyle \frac{q...
...sh ax)}-\displaystyle \frac{p}{q^2-p^2}\int\displaystyle \frac{dx}{p+q\cosh ax}$

22.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{p^2-q^2\cosh^2 ax}=\left\{ \begin{arra...
...isplaystyle \frac{p\tanh ax}{\displaystyle \sqrt{q^2-p^2}}
\end{array}\right. $

23.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{p^2+q^2\cosh^2 ax}=\left\{ \begin{arra...
...displaystyle \frac{p\tanh ax}{\displaystyle \sqrt{p^2+q^2}}
\end{array}\right. $

24.
$\displaystyle\int x^m \cosh ax dx=\displaystyle \frac{x^m \sinh ax}{a}-\displaystyle \frac{m}{a}\int x^{m-1}\sinh ax dx$

25.
$\displaystyle\int\cosh^n ax dx=\displaystyle \frac{\cosh^{n-1}ax\sinh ax}{an}+\displaystyle \frac{n-1}{n}\int\cosh^{n-2} ax dx$

26.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{\cosh ax}{x^n}dx=\displaystyle \frac{-\cos...
...^{n-1}}+\displaystyle \frac{a}{n-1}\int\displaystyle \frac{\sinh ax}{x^{n-1}}dx$

27.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{\cosh^n ax}=\displaystyle \frac{\sinh ...
...n-1}ax}+\displaystyle \frac{n-2}{n-1}\int\displaystyle \frac{dx}{\cosh^{n-2}ax}$

28.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{x dx}{\cosh^n ax}=\displaystyle \frac{x\si...
...2}ax}+\displaystyle \frac{n-2}{n-1}\int\displaystyle \frac{x dx}{\cosh^{n-2}ax}$

+ نوشته شده در  چهارشنبه پنجم تیر 1387ساعت 4:9 بعد از ظهر  توسط مجید  | 

انتگرال sinhx

1.
$\displaystyle\int\sinh axdx=\displaystyle \frac{\cosh ax}{a}$

2.
$\displaystyle\int\sinh axdx=\displaystyle \frac{a\cosh ax}{a}-\displaystyle \frac{\sinh ax}{a^2}$

3.
$\displaystyle\int x^2\sinh axdx=\left(\displaystyle \frac{x^2}{a}+\displaystyle \frac{2}{a^3}\right)\cosh ax-\displaystyle \frac{2x}{a^2}\sinh ax$

4.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{\sinh ax}{x}dx=ax+\displaystyle \frac{(ax)^3}{3\cdot 3!}+\displaystyle \frac{(ax)^5}{5\cdot 5!}+\cdot\cdot\cdot$

5.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{\sinh ax}{x^2}dx=-\displaystyle \frac{\sinh ax}{x}+a\int\displaystyle \frac{\cosh ax}{x}dx$

6.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{\sinh ax}=\displaystyle \frac{1}{a}\ln\tanh\displaystyle \frac{ax}{2}$

7.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{xdx}{\sinh ax}=\displaystyle \frac{1}{a^2}...
...tyle \frac{2(-1)^n(2^{2n}-1)B_{n}(ax)^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdot\cdot\cdot \right\}$

8.
$\displaystyle\int\sinh^2 axdx=\displaystyle \frac{\sinh ax\cosh ax}{2a}-\displaystyle \frac{x}{2}$

9.
$\displaystyle\int x\sinh^2 axdx=\displaystyle \frac{x\sinh 2ax}{4a}-\displaystyle \frac{\cosh 2ax}{8a^2}-\displaystyle \frac{x^2}{4}$

10.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{\sinh^2 ax}=-\displaystyle \frac{\coth ax}{a}$

11.
$\displaystyle\int\sinh ax\sinh px dx=\displaystyle \frac{\sinh(a+p)x}{2(a+p)}-\displaystyle \frac{\sinh(a-p)x}{2(a-p)}$

12.
$\displaystyle\int\sinh ax\sinh pxdx=\displaystyle \frac{a\cosh ax\sin px-p\sinh ax\cos px}{a^2 + p^2}$

13.
$\displaystyle\int\sinh ax \cos pxdx=\displaystyle \frac{a\cosh ax \cos px +p\sinh ax\sin px}{a^2 + p^2}$

14.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{p+q\sinh ax}=\displaystyle \frac{1}{a\...
...+p-\displaystyle \sqrt{p^2+q^2}}{qe^{ax}+p+\displaystyle \sqrt{p^2+q^2}}\right)$

15.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{(p+q\sinh ax)^2}=\displaystyle \frac{-...
...nh ax)}+\displaystyle \frac{p}{p^2+q^2}\int\displaystyle \frac{dx}{p+q\sinh ax}$

16.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{p^2+q^2\sinh^2 ax}=\left\{ \begin{arra...
...2}\tanh ax}{p-\displaystyle \sqrt{p^2-q^2}\tanh ax}\right)
\end{array}\right. $

17.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{p^2-q^2\sinh^2 ax}=\displaystyle \frac...
...laystyle \sqrt{p^2+q^2}\tanh ax}{p-\displaystyle \sqrt{p^2+q^2}\tanh ax}\right)$

18.
$\displaystyle\int x^m\sinh ax dx=\displaystyle \frac{x^m\cosh ax}{a}-\displaystyle \frac{m}{a}\int x^{m-1}\cosh axdx$

19.
$\displaystyle\int\sinh^n axdx=\displaystyle \frac{\sinh^{n-1}ax\cosh ax}{an}-\displaystyle \frac{n-1}{n}\int\sinh^{n-2}axdx$

20.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{\sinh ax}{x^n}dx=\displaystyle \frac{-\sin...
...^{n-1}}+\displaystyle \frac{a}{n-1}\int\displaystyle \frac{\cosh ax}{x^{n-1}}dx$

21.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{\sinh^n ax}=\displaystyle \frac{-\cosh...
...n-1}ax}-\displaystyle \frac{n-2}{n-1}\int\displaystyle \frac{dx}{\sinh^{n-2}ax}$

22.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{xdx}{\sinh^n ax}=\displaystyle \frac{-x\co...
...-2}ax}-\displaystyle \frac{n-2}{n-1}\int\displaystyle \frac{xdx}{\sinh^{n-2}ax}$

+ نوشته شده در  چهارشنبه پنجم تیر 1387ساعت 4:7 بعد از ظهر  توسط مجید  | 

انتگرال Ln

1.
$\displaystyle\int \ln xdx=x\ln x-x$

2.
$\displaystyle\int x\ln x dx=\displaystyle \frac{x^2}{2}(\ln x-\displaystyle \frac{1}{2})$

3.
$\displaystyle\int x^m\ln xdx=\displaystyle \frac{x^{m+1}}{m+1}\left(\ln x-\displaystyle \frac{1}{m+1}\right)$

4.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{\ln x}{x}dx=\displaystyle \frac{1}{2}\ln^2 x$

5.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{\ln x}{x^2}dx=-\displaystyle \frac{\ln x}{x}-\displaystyle \frac{1}{x}$

6.
$\displaystyle\int\ln^2 xdx=x\ln^2 x-2x\ln x+2x$

7.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{\ln^n xdx}{x}=\displaystyle \frac{\ln^{n+1}x}{n+1}$

8.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{x\ln x}=\ln (\ln x)$

9.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{\ln x}=\ln (\ln x)+\ln x+\displaystyle \frac{\ln^2 x}{2\cdot 2!}+\displaystyle \frac{\ln^3 x}{3\cdot 3!}+\cdot\cdot\cdot$

10.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{x^m dx}{\ln x}=\ln (\ln x)+(m+1)\ln x + \d...
...n^2 x}{2\cdot 2!}+\displaystyle \frac{(m+1)^3\ln^3x}{3\cdot 3!}+\cdot\cdot\cdot$

11.
$\displaystyle\int\ln^n xdx=x\ln^n x-n\int\ln^{n-1}xdx$

12.
$\displaystyle\int x^m\ln^n xdx=\displaystyle \frac{x^{m+1}\ln^n x}{m+1}-\displaystyle \frac{n}{m+1}\int x^m\ln^{n-1}xdx$

13.
$\displaystyle\int\ln(x^2+a^2)dx=x\ln(x^2+a^2)-2x+2a\tan^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}$

14.
$\displaystyle\int\ln(x^2-a^2)dx=x\ln(x^2-a^2)-2x+a\ln\left(\displaystyle \frac{x+a}{x-a}\right)$

15.
$\displaystyle\int x^m\ln(x^2\pm a^2)dx=\displaystyle \frac{x^{m+1}\ln(x^2\pm a^2)}{m+1}-\displaystyle \frac{2}{m+1}\int\displaystyle \frac{x^{m+2}}{x^2\pm a^2}dx$

+ نوشته شده در  چهارشنبه پنجم تیر 1387ساعت 4:5 بعد از ظهر  توسط مجید  | 

انتگرال توابع نمایی

1.
$\displaystyle\int e^{ax} dx =\displaystyle \frac{e^{ax}}{a}$

2.
$\displaystyle\int xe^{ax}dx=\displaystyle \frac{e^{ax}}{a}\left(x-\displaystyle \frac{1}{a}\right)$

3.
$\displaystyle\int x^2 e^{ax}dx=\displaystyle \frac{e^{ax}}{a}\left(x^2-\displaystyle \frac{2x}{a}+\displaystyle \frac{2}{a^2}\right)$

4.
$\begin{array}{lcl}
\displaystyle\int x^n e^{ax}dx&=& \displaystyle \frac{x^n e^...
...2}}{a^2}-\cdot\cdot\cdot \displaystyle \frac{(-1)^n n!}{a^n}\right)
\end{array}$

5.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{e^{ax}}{x}dx=\ln x+\displaystyle \frac{ax}...
...\frac{(ax)^2}{2\cdot 2!}+\displaystyle \frac{(ax)^3}{3\cdot 3!}+\cdot\cdot\cdot$

6.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{e^{ax}}{x^n}dx=\displaystyle \frac{-e^{ax}...
...)x^{n-1}}+\displaystyle \frac{a}{n-1}\int\displaystyle \frac{e^{ax}}{x^{n-1}}dx$

7.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{p+qe^{ax}}=\displaystyle \frac{x}{p}-\displaystyle \frac{1}{ap}\ln (p+qe^{ax})$

8.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{(p+qe^{ax})^2}=\displaystyle \frac{x}{...
...displaystyle \frac{1}{ap(p+qe^{ax})}-\displaystyle \frac{1}{ap^2}\ln(p+qe^{ax})$

9.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{pe^{ax}+qe^{-ax}}=\left\{ \begin{array...
...style \sqrt{-q/p}}{e^{ax}+\displaystyle \sqrt{-q/p}}\right)
\end{array}\right. $

10.
$\displaystyle\int e^{ax}\sin bx dx=\displaystyle \frac{e^{ax}(a\sin bx -b\cos bx)}{a^2+b^2}$

11.
$\displaystyle\int e^{ax}\cos bx dx=e^{ax}\displaystyle \frac{(a\cos bx+b\sin bx)}{a^2+b^2}$

12.
$\displaystyle\int xe^{ax}\sin bx dx=\displaystyle \frac{xe^{ax}(a\sin bx -b\cos...
...splaystyle \frac{e^{ax}\left\{(a^2-b^2)\sin bx-2ab\cos bx\right\}}{(a^2+b^2)^2}$

13.
$\displaystyle\int xe^{ax}\cos bx dx=\displaystyle \frac{xe^{ax}(a\cos bx +b\sin...
...splaystyle \frac{e^{ax}\left\{(a^2-b^2)\cos bx+2ab\sin bx\right\}}{(a^2+b^2)^2}$

14.
$\displaystyle\int e^{ax}\ln xdx=\displaystyle \frac{e^{ax}\ln x}{a}-\displaystyle \frac{1}{a}\int\displaystyle \frac{e^{ax}}{x}dx$

15.
$\displaystyle\int e^{ax}\sin^n bxdx=\displaystyle \frac{e^{ax}\sin^{n-1}bx}{a^2...
...\cos bx) + \displaystyle \frac{n(n-1)b^2}{a^2+n^2b^2}\int e^{ax}\sin^{n-2}bx dx$

16.
$\displaystyle\int e^{ax}\cos^n bxdx=\displaystyle \frac{e^{ax}\cos^{n-1}bx}{a^2...
...\sin bx) + \displaystyle \frac{n(n-1)b^2}{a^2+n^2b^2}\int e^{ax}\cos^{n-2}bx dx$

+ نوشته شده در  چهارشنبه پنجم تیر 1387ساعت 4:4 بعد از ظهر  توسط مجید  | 

انتگرال توابع معکوس

1.
$\displaystyle\int\sin^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}dx=x\sin^{-1} \displaystyle \frac{x}{a}+\displaystyle \sqrt{a^2-x^2}$

2.
$\displaystyle\int x\sin^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}dx=\left(\displaystyle \fr...
...\displaystyle \frac{x}{a}+\displaystyle \frac{x\displaystyle \sqrt{a^2-x^2}}{4}$

3.
$\displaystyle\int x^2\sin^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}dx=\displaystyle \frac{x...
...yle \frac{x}{a}+\displaystyle \frac{(x^2+2a^2)\displaystyle \sqrt{a^2-x^2)}}{9}$

4.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{\sin^{-1}(x/a)}{x}dx=\displaystyle \frac{x...
...rac{1\cdot 3\cdot 5(x/a)^7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7\cdot 7} + \cdot \cdot \cdot $

5.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{\sin^{-1}(x/a)}{x^2}dx=-\displaystyle \fra...
...rac{1}{a}\ln\left(\displaystyle \frac{a+\displaystyle \sqrt{a^2-x^2}}{x}\right)$

6.
$\displaystyle\int\left(\sin^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}\right)^2 dx=x\left(\s...
...a}\right)^2 -2x+2\displaystyle \sqrt{a^2-x^2}\sin^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}$

7.
$\displaystyle\int\cos^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}dx=x\cos^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}-\displaystyle \sqrt{a^2-x^2}$

8.
$\displaystyle\int x\cos^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}dx=\left(\displaystyle \fr...
...\displaystyle \frac{x}{a}-\displaystyle \frac{x\displaystyle \sqrt{a^2-x^2}}{4}$

9.
$\displaystyle\int x^2\cos^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}dx=\displaystyle \frac{x...
...tyle \frac{x}{a}-\displaystyle \frac{(x^2+2a^2)\displaystyle \sqrt{a^2-x^2}}{9}$

10.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{\cos^{-1}(x/a)}{x}dx=\displaystyle \frac{\pi}{2}\ln x-\int\displaystyle \frac{\sin^{-1}(x/a)}{x}dx$

11.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{\cos^{-1}(x/a)}{x^2}dx=-\displaystyle \fra...
...rac{1}{a}\ln\left(\displaystyle \frac{a+\displaystyle \sqrt{a^2-x^2}}{x}\right)$

12.
$\displaystyle\int\left(\cos^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}\right)^2 dx=x\left(\c...
...{a}\right)^2-2x-2\displaystyle \sqrt{a^2-x^2}\cos^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}$

13.
$\displaystyle\int\tan^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}dx=x\tan^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}-\displaystyle \frac{a}{2}\ln(x^2+a^2)$

14.
$\displaystyle\int x\tan^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}dx=\displaystyle \frac{1}{2}(x^2+a^2)\tan^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}-\displaystyle \frac{ax}{2}$

15.
$\displaystyle\int x^2\tan^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}dx=\displaystyle \frac{x...
...frac{x}{a}-\displaystyle \frac{ax^2}{6}+\displaystyle \frac{a^3}{6}\ln(x^2+a^2)$

16.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{\tan^{-1}(x/a)}{x}dx=\displaystyle \frac{x...
...playstyle \frac{(x/a)^5}{5^2}-\displaystyle \frac{(x/a)^7}{7^2}+\cdot\cdot\cdot$

17.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{\tan^{-1}(x/a)}{x^2}dx=-\displaystyle \fra...
...{a}-\displaystyle \frac{1}{2a}\ln\left(\displaystyle \frac{x^2+a^2}{x^2}\right)$

18.
$\displaystyle\int\cot^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}dx=x\cot^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}+\displaystyle \frac{a}{2}\ln(x^2+a^2)$

19.
$\displaystyle\int x\cot^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}dx=\displaystyle \frac{1}{2}(x^2+a^2)\cot^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}+\displaystyle \frac{ax}{2}$

20.
$\displaystyle\int x^2\cot^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}dx=\displaystyle \frac{x...
...frac{x}{a}+\displaystyle \frac{ax^2}{6}-\displaystyle \frac{a^3}{6}\ln(x^2+a^2)$

21.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{\cot^{-1}(x/a)}{x}dx=\displaystyle \frac{\pi}{2}\ln x-\int\displaystyle \frac{\tan^{-1}(x/a)}{x}dx$

22.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{\cot^{-1}(x/a)}{x^2}dx=-\displaystyle \fra...
...{x}+\displaystyle \frac{1}{2a}\ln\left(\displaystyle \frac{x^2+a^2}{x^2}\right)$

23.
$ \displaystyle\int\sec^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}dx=\left\{ \begin{array}{ll...
...style \frac{\pi}{2}<\sec^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}<\pi
\end{array}\right. $

24.
$\displaystyle\int x\sec^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}dx=\left\{ \begin{array}{l...
...ystyle \frac{\pi}{2}<\sec^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}<\pi
\end{array}\right. $

25.
$\displaystyle\int x^2\sec^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}dx=\left\{ \begin{array}...
...ystyle \frac{\pi}{2}<\sec^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}<\pi
\end{array}\right. $

26.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{\sec^{-1}(x/a)}{x}dx=\displaystyle \frac{\...
...\frac{1\cdot 3\cdot 5(a/x)^7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7\cdot 7} + \cdot\cdot\cdot $

27.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{\sec^{-1}(x/a)}{x^2}dx=\left\{ \begin{arra...
...ystyle \frac{\pi}{2}<\sec^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}<\pi
\end{array}\right. $

28.
$\displaystyle\int\csc^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}dx=\left\{ \displaystyle\beg...
...laystyle \frac{\pi}{2}<\csc^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}<0
\end{array}\right. $

29.
$\displaystyle\int x\csc^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}dx=\left\{ \begin{array}{l...
...laystyle \frac{\pi}{2}<\csc^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}<0
\end{array}\right. $

30.
$\displaystyle\int x^2\csc^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}dx=\left\{ \begin{array}...
...laystyle \frac{\pi}{2}<\csc^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}<0
\end{array}\right. $

31.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{\csc^{-1}(x/a)}{x}dx=-\left(\displaystyle ...
...{1\cdot 3\cdot 5(a/x)^7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7\cdot 7}+\cdot\cdot\cdot \right)$

32.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{\csc^{-1}(x/a)}{x^2}dx=\left\{ \begin{arra...
...laystyle \frac{\pi}{2}<\csc^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}<0
\end{array}\right. $

33.
$\displaystyle\int x^m\sin^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}dx=\displaystyle \frac{x...
...e \frac{1}{m+1}\int\displaystyle \frac{x^{m+1}}{\displaystyle \sqrt{a^2-x^2}}dx$

34.
$\displaystyle\int x^m\cos^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}dx=\displaystyle \frac{x...
...e \frac{1}{m+1}\int\displaystyle \frac{x^{m+1}}{\displaystyle \sqrt{a^2-x^2}}dx$

35.
$\displaystyle\int x^m\tan^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}dx=\displaystyle \frac{x...
...ac{x}{a}-\displaystyle \frac{a}{m+1}\int\displaystyle \frac{x^{m+1}}{x^2+a^2}dx$

36.
$\displaystyle\int x^m\cot^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}dx=\displaystyle \frac{x...
...ac{x}{a}+\displaystyle \frac{a}{m+1}\int\displaystyle \frac{x^{m+1}}{x^2+a^2}dx$

37.
$\displaystyle\int x^m\sec^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}=\left \{ \begin{array}{...
...aystyle \frac{\pi}{2}<sec^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}<\pi
\end{array}\right. $

38.
$\displaystyle\int x^m\csc^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}dx=\left\{ \begin{array}...
...laystyle \frac{\pi}{2}<\csc^{-1}\displaystyle \frac{x}{a}<0
\end{array}\right. $

+ نوشته شده در  چهارشنبه پنجم تیر 1387ساعت 4:2 بعد از ظهر  توسط مجید  | 

انتگرال csc

1.
$\displaystyle\int\csc axdx=\displaystyle \frac{1}{a}\ln(\csc ax-\cot ax)=\displaystyle \frac{1}{a}\ln\tan\displaystyle \frac{ax}{2}$

2.
$\displaystyle\int\csc^2 axdx=-\displaystyle \frac{\cot ax}{a}$

3.
$\displaystyle\int\csc^3 axdx=-\displaystyle \frac{\csc ax\cot ax}{2a}+\displaystyle \frac{1}{2a}\ln\tan\displaystyle \frac{ax}{2}$

4.
$\displaystyle\int\csc^n ax\cot axdx=-\displaystyle \frac{\csc^n ax}{na}$

5.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{\csc ax}=-\displaystyle \frac{\cos ax}{a}$

6.
$\displaystyle\int x\csc ax dx=\displaystyle \frac{1}{a^2}\left(ax+\displaystyle...
...laystyle \frac{2(2^{2n-1}-1)B_{n}(ax)^{2n+1}}{(2n+1)!}+ \cdot\cdot\cdot \right)$

where the constants Bn are the Bernoulli's numbers.

7.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{\csc ax}{x}dx=-\displaystyle \frac{1}{ax}+...
...displaystyle \frac{2(2^{2n-1}-1)B_{n}(ax)^{2n-1}}{(2n-1)(2n)!}+ \cdot\cdot\cdot$

where the constants Bn are the Bernoulli's numbers.

8.
$\displaystyle\int x\csc^2 axdx=-\displaystyle \frac{x\cot ax}{a}+\displaystyle \frac{1}{a^2}\ln\sin ax$

9.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{q+p\csc ax}=\displaystyle \frac{x}{q}-\displaystyle \frac{p}{q}\int\displaystyle \frac{dx}{p+q\sin ax}$

10.
$\displaystyle\int\csc^n axdx=-\displaystyle \frac{\csc^{n-2}ax\cot ax}{a(n-1)}+\displaystyle \frac{n-2}{n-1}\int\csc^{n-2}axdx$
+ نوشته شده در  چهارشنبه پنجم تیر 1387ساعت 4:0 بعد از ظهر  توسط مجید  | 

انتگرال sec

1.
$\displaystyle\int\sec ax dx=\displaystyle \frac{1}{a}\ln(\sec ax+\tan ax)=\disp...
...1}{a}\ln\tan\left(\displaystyle \frac{ax}{2}+\displaystyle \frac{\pi}{4}\right)$

2.
$\displaystyle\int \sec^2 ax dx=\displaystyle \frac{\tan ax}{a}$

3.
$\displaystyle\int \sec^3 ax dx=\displaystyle \frac{\sec ax \tan ax}{2a}+\displaystyle \frac{1}{2a}\ln(\sec ax +\tan ax)$

4.
$\displaystyle\int \sec^n ax \tan axdx=\displaystyle \frac{\sec^n ax}{na}$

5.
$\displaystyle\int \displaystyle \frac{dx}{\sec ax}=\displaystyle \frac{sin ax}{a}$

6.
$\displaystyle\int x\sec ax dx=\displaystyle \frac{1}{a^2}\left( \displaystyle \...
...t + \displaystyle \frac{E_{n}(ax)^{2n+2}}{(2n+2)(2n)!}+ \cdot\cdot\cdot \right)$

where the constants En are the Euler's numbers.

7.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{\sec ax}{x}dx=\ln x+\displaystyle \frac{(a...
...\cdot\cdot\cdot + \displaystyle \frac{E_{n}(ax)^{2n}}{2n(2n)!}+ \cdot\cdot\cdot$

where the constants En are the Euler's numbers.

8.
$\displaystyle\int x \sec^2 ax dx=\displaystyle \frac{x}{a}\tan ax+\displaystyle \frac{1}{a^2}\ln\cos ax$

9.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{q+p\sec ax}=\displaystyle \frac{x}{q}-\displaystyle \frac{p}{q}\int\displaystyle \frac{dx}{p+q\cos ax}$

10.
$\displaystyle\int \sec^n axdx=\displaystyle \frac{sec^{n-2}ax\tan ax}{a(n-1)}+\displaystyle \frac{n-2}{n-1}\int\sec^{n-2}axdx$

+ نوشته شده در  چهارشنبه پنجم تیر 1387ساعت 3:58 بعد از ظهر  توسط مجید  | 

انتگرال cot

1.
$\displaystyle\int \cot ax dx=\displaystyle \frac{1}{a}\ln\sin ax$

2.
$\displaystyle\int \cot^2 ax dx=-\displaystyle \frac{\cot ax}{a}-x$

3.
$\displaystyle\int \cot^3 ax dx=-\displaystyle \frac{\cot^2 ax}{2a}-\displaystyle \frac{1}{a}\ln\sin ax$

4.
$\displaystyle\int \cot^n ax \csc^2axdx=-\displaystyle \frac{\cot^{n+1}ax}{(n+1)a}$

5.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{\csc^2ax}{\cot ax}dx=-\displaystyle \frac{1}{a}\ln\cot ax$

6.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{\cot ax}=-\displaystyle \frac{1}{a}\ln\cos ax$

7.
$\displaystyle\int x \cot ax dx=\displaystyle \frac{1}{a^2}\left(ax-\displaystyl...
...ot-\displaystyle \frac{2^{2n}B_{n}(ax)^{2n+1}}{(2n+1)!}-\cdot\cdot\cdot \right)$

where the constants Bn are the Bernoulli's numbers.

8.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{\cot ax}{x}dx=-\displaystyle \frac{1}{ax}-...
...dot -\displaystyle \frac{2^{2n}B_{n}(ax)^{2n-1}}{(2n-1)(2n)!}- \cdot\cdot\cdot $

where the constants Bn are the Bernoulli's numbers.

9.
$\displaystyle\int x\cot^2 ax dx=-\displaystyle \frac{x\cot ax}{a}+\displaystyle \frac{1}{a^2}\ln\sin ax-\displaystyle \frac{x^2}{2}$

10.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{p+q\cot ax}=\displaystyle \frac{px}{p^2+q^2}-\displaystyle \frac{q}{a(p^2+q^2)}\ln(p\sin ax+q\cos ax)$

11.
$\displaystyle\int \cot^n ax dx=-\displaystyle \frac{\cot^{n-1}ax}{(n-1)a}-\displaystyle\int\cot^{n-2}ax dx$

12.
$\displaystyle\int \cot^n axdx=-\displaystyle \frac{\cot^{n-1}ax}{(n-1)a}-\int\cot^{n-2}axdx$

+ نوشته شده در  چهارشنبه پنجم تیر 1387ساعت 3:56 بعد از ظهر  توسط مجید  | 

انتگرال tg

1.
$\displaystyle\int\tan ax dx=-\displaystyle \frac{1}{a}\ln\cos ax=\displaystyle \frac{1}{a}\ln\sec ax$

2.
$\displaystyle\int\tan^2 ax dx=\displaystyle \frac{\tan ax}{a}-x$

3.
$\displaystyle\int\tan^3 ax dx=\displaystyle \frac{\tan^2 ax}{2a}+\displaystyle \frac{1}{a}\ln\cos ax$

4.
$\displaystyle\int\tan^n ax \sec^2 ax dx=\displaystyle \frac{\tan^{n+1}ax}{(n+1)a}$

5.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{\sec^2 ax}{\tan ax}dx=\displaystyle \frac{1}{a}\ln\tan ax$

6.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{\tan ax}=\displaystyle \frac{1}{a}\ln\sin ax$

7.
$\displaystyle\int x\tan ax dx=\displaystyle \frac{1}{a^2}\left\{\displaystyle \...
...ystyle \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_n(ax)^{2n+1}}{(2n+1)!}+ \cdot\cdot\cdot \right\}$

where the constants Bn are the Bernoulli's numbers.

8.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{\tan ax}{x}dx=ax+\displaystyle \frac{(ax)^...
...isplaystyle \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_n(ax)^{2n-1}}{(2n-1)(2n)!}+\cdot\cdot\cdot $

where the constants Bn are the Bernoulli's numbers.

9.
$\displaystyle\int x\tan^2 ax dx=\displaystyle \frac{x\tan ax}{a}+\displaystyle \frac{1}{a^2}\ln\cos ax-\displaystyle \frac{x^2}{2}$

10.
$\displaystyle\int\displaystyle \frac{dx}{p+q\tan ax}=\displaystyle \frac{px}{p^2+q^2}+\displaystyle \frac{q}{a(p^2+q^2)}\ln(q\sin ax+p\cos ax)$

11.
$\displaystyle\int\tan^n ax dx=\displaystyle \frac{\tan^{n-1}ax}{(n-1)a}-\int\tan^{n-2}ax dx$

+ نوشته شده در  چهارشنبه پنجم تیر 1387ساعت 3:54 بعد از ظهر  توسط مجید  | 

انتگرال سینوس وکسینوس

1.
$\displaystyle \int\sin ax\cos ax\,dx=\displaystyle \frac{\sin^{\displaystyle2}ax}{2a}$

2.
$\displaystyle \int\sin px\cos qx\,dx=-\displaystyle \frac{\cos(p-q)x}{2(p-q)}\,-\,\displaystyle \frac{\cos (p+q)x}{2(p+q)}$

3.
$\displaystyle \int\sin^{\displaystyle n}ax\cos ax\,dx=\displaystyle \frac{\sin^{\displaystyle n+1}ax}{(n+1)a}$

4.
$\displaystyle \int\cos^{\displaystyle n}ax\sin ax\,dx=-\displaystyle \frac{\cos^{\displaystyle n+1}ax}{(n+1)a}$

5.
$\displaystyle \int\sin^{\displaystyle2}ax\cos^{\displaystyle2}ax\,dx=\displaystyle \frac{x}{8}\,-\,\displaystyle \frac{\sin 4ax}{32a}$

6.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{dx}{\sin ax\cos ax}=\displaystyle \frac{1}{a}\ln\tan ax$

7.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{dx}{\sin^{\displaystyle2}ax\cos ax}=\disp...
...}{4}\,+\,\displaystyle \frac{ax}{2}\right)\,-\,\displaystyle \frac{1}{a\sin ax}$

8.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{dx}{\sin ax\cos^{\displaystyle2}ax}=\disp...
...rac{1}{a}\ln\tan\displaystyle \frac{ax}{2}\,+\,\displaystyle \frac{1}{a\cos ax}$

9.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{dx}{\sin^{\displaystyle2}ax\cos^{\displaystyle2}ax}=-\displaystyle \frac{2\cot 2ax}{a}$

10.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{\sin^{\displaystyle2}ax}{\cos ax}\,dx=-\d...
...}\ln\tan\left(\displaystyle \frac{ax}{2}\,+\,\displaystyle \frac{\pi}{4}\right)$

11.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{\cos^{\displaystyle2}ax}{\sin ax}\,dx=\di...
...frac{\cos ax}{a}\,+\,\displaystyle \frac{1}{a}\ln\tan\displaystyle \frac{ax}{2}$

12.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{dx}{\cos ax(1\pm\sin ax)}=\mp\displaystyl...
...}\ln\tan\left(\displaystyle \frac{ax}{2}\,+\,\displaystyle \frac{\pi}{4}\right)$

13.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{dx}{\sin ax(1\pm\cos ax)}=\pm\displaystyl...
...a(1\pm\cos ax)}\,+\,\displaystyle \frac{1}{2a}\ln\tan\displaystyle \frac{ax}{2}$

14.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{dx}{\sin ax\pm\cos ax}=\displaystyle \fra...
...ln\tan\left(\displaystyle \frac{ax}{2}\,\pm\,\displaystyle \frac{\pi}{8}\right)$

15.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{\sin ax\,dx}{\sin ax\pm\cos ax}=\displaystyle \frac{x}{2}\mp\displaystyle \frac{1}{2a}\ln(\sin ax\pm\cos ax)$

16.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{\cos ax\,dx}{\sin ax\pm\cos ax}=\pm\displaystyle \frac{x}{2}\,+\,\displaystyle \frac{1}{2a}\ln(\sin ax\pm\cos ax)$

17.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{\sin ax\,dx}{p+q\cos ax}=-\displaystyle \frac{1}{aq}\ln(p+q\cos ax)$

18.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{\cos ax\,dx}{p+q\sin ax}=\displaystyle \frac{1}{aq}\ln(p+q\sin ax)$

19.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{\sin ax\,dx}{(p+q\cos ax)^{\displaystyle n}}=\displaystyle \frac{1}{aq(n-1)(p+q\cos ax)^{\displaystyle n-1}}$

20.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{\cos ax\,dx}{(p+q\sin ax)^{\displaystyle n}}=\displaystyle \frac{-1}{aq(n-1)(p+q\sin ax)^{\displaystyle n-1}}$

21.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{dx}{p\sin ax+q\cos ax}=\displaystyle \fra...
...e2}}}\ln\tan\left(\displaystyle \frac{ax+\tan^{\displaystyle-1}(q/p)}{2}\right)$

22.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{dx}{p\sin ax+q\cos ax+r}=\left\{\begin{ar...
...displaystyle2}-r^{\displaystyle2}}+(r-q)\tan(ax/2)}\right)
\end{array} \right.$

23.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{dx}{p\sin ax+q(1+\cos ax)}=\displaystyle \frac{1}{ap}\ln\left(q+p\tan\displaystyle \frac{ax}{2}\right)$

24.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{dx}{p\sin ax+q\cos ax\pm\displaystyle \sq...
...rac{\pi}{4}\,\mp\,\displaystyle \frac{ax+\tan^{\displaystyle-1}(q/p)}{2}\right)$

25.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{dx}{p^{\displaystyle2}\sin^{\displaystyle...
...frac{1}{apq}\tan^{\displaystyle-1}\left(\displaystyle \frac{p\tan ax}{q}\right)$

26.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{dx}{p^{\displaystyle2}\sin^{\displaystyle...
...style \frac{1}{2apq}\ln\left(\displaystyle \frac{p\tan ax-q}{p\tan ax+q}\right)$

27.
$\displaystyle \int\sin^{\displaystyle m}ax\cos^{\displaystyle n}ax\,dx=\left\{\...
...\int\sin^{\displaystyle m}ax\cos^{\displaystyle n-2}ax\,dx
\end{array} \right.$

28.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{\sin^{\displaystyle m}ax}{\cos^{\displays...
...{\sin^{\displaystyle m-2}ax}{\cos^{\displaystyle n}ax}\,dx
\end{array} \right.$

29.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{\cos^{\displaystyle m}ax}{\sin^{\displays...
...{\cos^{\displaystyle m-2}ax}{\sin^{\displaystyle n}ax}\,dx
\end{array} \right.$

30.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{dx}{\sin^{\displaystyle m}ax\cos^{\displa...
...ac{dx}{\sin^{\displaystyle m-2}ax\cos^{\displaystyle n}ax}
\end{array} \right.$

+ نوشته شده در  چهارشنبه پنجم تیر 1387ساعت 3:51 بعد از ظهر  توسط مجید  | 

انتگرال سینوس

 

$\displaystyle \int\sin ax\,dx=-\displaystyle \frac{\cos ax}{a}$

2.
$\displaystyle \int x\sin ax\,dx=\displaystyle \frac{\sin ax}{a^{\displaystyle2}}\,-\,\displaystyle \frac{x\cos ax}{a}$

3.
$\displaystyle \int x^{\displaystyle2}\sin ax\,dx=\displaystyle \frac{2x}{a^{\di...
...^{\displaystyle3}}\,-\,\displaystyle \frac{x^{\displaystyle2}}{a}\right)\cos ax$

4.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{\sin ax}{x}\,dx=ax\,-\,\displaystyle \fra...
...3\cdot 3!}\,+\,\displaystyle \frac{(ax)^{\displaystyle5}}{5\cdot 5!}\,-\,\cdots$

5.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{\sin ax}{x^{\displaystyle2}}\,dx=-\displa...
...le \frac{\sin ax}{x}\,+\,a\displaystyle \int\displaystyle \frac{\cos ax}{x}\,dx$

6.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{dx}{\sin ax}=\displaystyle \frac{1}{a}\ln(\csc ax\,-\,\cot ax)=\displaystyle \frac{1}{a}\ln\tan\displaystyle \frac{ax}{2}$

7.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{x\,dx}{\sin ax}=\displaystyle \frac{1}{a^...
...\displaystyle2n-1}-1)B_{n}(ax)^{\displaystyle2n+1}}{(2n+1)!}\,+\,\cdots\right\}$

where the constants Bn are the Bernoulli's numbers.

8.
$\displaystyle \int\sin^{\displaystyle2}ax\,dx=\displaystyle \frac{x}{2}\,-\,\displaystyle \frac{\sin 2ax}{4a}$

9.
$\displaystyle \int x\sin^{\displaystyle2} ax\,dx=\displaystyle \frac{x^{\displa...
...yle \frac{x\sin 2ax}{4a}\,-\,\displaystyle \frac{\cos 2ax}{8a^{\displaystyle2}}$

10.
$\displaystyle \int\sin^{\displaystyle3} ax\,dx=-\displaystyle \frac{\cos ax}{a}\,+\,\displaystyle \frac{cos^{\displaystyle3}ax}{3a}$

11.
$\displaystyle \int\sin^{\displaystyle4} ax\,dx=\displaystyle \frac{3x}{8}\,-\,\displaystyle \frac{\sin 2ax}{4a}\,+\,\displaystyle \frac{\sin 4ax}{32a}$

12.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{dx}{\sin ^{\displaystyle2}ax}=-\displaystyle \frac{1}{a}\cot ax$

13.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{dx}{\sin^{\displaystyle3} ax}=-\displayst...
...splaystyle2}ax}\,+\,\displaystyle \frac{1}{2a}\ln\tan\displaystyle \frac{ax}{2}$

14.
$\displaystyle \int\sin px\sin qx\,dx=\displaystyle \frac{\sin(p-q)x}{2(p-q)}\,-\,\displaystyle \frac{\sin(p+q)x}{2(p+q)}$
provided $p \neq \pm q$.

15.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{dx}{1-\sin ax}=\displaystyle \frac{1}{a}\tan\left(\displaystyle \frac{\pi}{4}\,+\,\displaystyle \frac{ax}{2}\right)$

16.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{x\,dx}{1-\sin ax}=\displaystyle \frac{x}{...
...}\ln\sin\left(\displaystyle \frac{\pi}{4}\,-\,\displaystyle \frac{ax}{2}\right)$

17.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{dx}{1+\sin ax}=-\displaystyle \frac{1}{a}\tan\left(\displaystyle \frac{\pi}{4}\,-\,\displaystyle \frac{ax}{2}\right)$

18.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{x\,dx}{1+\sin ax}=-\displaystyle \frac{x}...
...}\ln\sin\left(\displaystyle \frac{\pi}{4}\,+\,\displaystyle \frac{ax}{2}\right)$

19.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{dx}{(1-\sin ax)^{\displaystyle2}}=\displa...
...ystyle3}\left(\displaystyle \frac{\pi}{4}\,+\,\displaystyle \frac{ax}{2}\right)$

20.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{dx}{(1+\sin ax)^{\displaystyle2}}=-\displ...
...ystyle3}\left(\displaystyle \frac{\pi}{4}\,-\,\displaystyle \frac{ax}{2}\right)$

21.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{dx}{p+q\sin ax}=\left\{\begin{array}{l}
...
...style \sqrt{q^{\displaystyle2}-p^{\displaystyle2}}}\right)
\end{array} \right.$

22.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{dx}{(p+q\sin ax)^{\displaystyle2}}=\displ...
...tyle2}-q^{\displaystyle2}}\displaystyle \int\displaystyle \frac{dx}{p+q\sin ax}$

23.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{dx}{p^{\displaystyle2}+q^{\displaystyle2}...
...yle \frac{\displaystyle \sqrt{p^{\displaystyle2}+q^{\displaystyle2}}\tan ax}{p}$

24.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{dx}{p^{\displaystyle2}-q^{\displaystyle2}...
...rt{q^{\displaystyle2}-p^{\displaystyle2}}\tan ax-p}\right)
\end{array} \right.$

25.
$\displaystyle \int x^{\displaystyle m}\sin ax\,dx=-\displaystyle \frac{x^{\disp...
...m(m-1)}{a^{\displaystyle2}}\displaystyle \int\ x^{\displaystyle m-2}\sin ax\,dx$

26.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{\sin ax}{x^{\displaystyle n}}\,dx=-\displ...
...}{n-1}\displaystyle \int\displaystyle \frac{\cos ax}{x^{\displaystyle n-1}}\,dx$

27.
$\displaystyle \int\sin^{\displaystyle n}ax\,dx=-\displaystyle \frac{\sin^{\disp...
...,+\,\displaystyle \frac{n-1}{n}\displaystyle \int\sin^{\displaystyle n-2}ax\,dx$

28.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{dx}{\sin^{\displaystyle n}ax}=\displaysty...
...{n-2}{n-1}\displaystyle \int\displaystyle \frac{dx}{\sin^{\displaystyle n-2}ax}$

29.
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{x\,dx}{\sin^{\displaystyle n}ax}=\display...
...2}{n-1}\displaystyle \int\displaystyle \frac{x\,dx}{\sin^{\displaystyle n-2}ax}$

+ نوشته شده در  چهارشنبه پنجم تیر 1387ساعت 3:48 بعد از ظهر  توسط مجید  | 

مشتق

مشتق و کاربرد آن شنبه هجدهم آذر 1385 22:4

مشتق گیری و مشتق پذیری :


در گذشته های نه چندان دور، مشتق یک تابع را به صورت زیر نشان می دادند:


که در این فرمولنشان دهنده میزان تغییرات یک کمیت است. ولی در حال حاضر برای محاسبه مشتق توابع،بیشتر از فرمول زیر استفاده میکنند:


معمولا از نمادهای زیر برای نشان دادن مشتق تابع f نسبت به متغیر x، استفاده میکنند:





یک تابع را در نقطه ای مانند x مشتق پذیر گویند اگردر آن نقطه مشتق موجود باشد. و برای مشتق پذیری تابع در یک بازه لازم است تابع در هر نقطه دلخواه از بازه مشتق پذیر باشد.اگر تابع در نقطه ای مانند c پیوسته نباشد آنگاه در c نمیتواند مشتق پذیر باشد.البته لازم به ذکر است که پیوستگی در یک نقطه وجود مشتق را تضمین نمیکند.مشتق یک تابع مشتق پذیر میتواند خود نیز مشتق پذیر باشد،که به مشتق آن مشتق دوم تابع گویند.مشتق مراتب بالاتر نیز به همین ترتیب تعریف میشوند.

بررسی مشتق از نظر هندسی :

img/daneshnameh_up/1/12/momas22.gif


از نظر هندسی مشتق یک تابع در یک نقطه دلخواه ،شیب خط مماس بر منحنی در آن نقطه است.البته پیدا کردن مستقیم شیب خط مماس در یک نقطه کار دشواری است.زیرا فقط مختصات یک نقطه از خط مماس را داریم.(برای پیدا کردن شیب یک خط از مختصات دو نقطه بر روی خط استفاده میکنیم)برای حل این مشکل از یک خط متقاطع استفاده کرده و این خط را به خط مماس نزدیک میکنیم.برای درک بهتر موضوع به شکل مقابل توجه نمایید.در این شکل خط متقاطع با رنگ بنفش و خط مماس با رنگ سبز مشخص شده است و عددی که در تصویر تغییر میکند نشان دهنده شیب خط متقاطع میباشد. حال از دیدگاه ریاضی این روش را بیان میکنیم:
از دیدگاه ریاضی بدست آوردن مشتق با حد گیری از شیب خط قاطع که به خط مماس نزدیک شده است بدست می آید.پیدا کردن شیب نزدیکترین خط متقاطع به خط مماس با استفاده از کوچکترین h در فرمول زیر حاصل میشود:



عکس پیدا نشد
بزرگنمایی خط مماس بر یک نقطه روی خط

در این فرمول h به عنوان کوچکترین تغییر متغیر x تعریف میشودو میتواند مقدار مثبت یا منفی اختیار کند. در این فرمول شیب خط با استفاده از نقاط و حاصل میشود.واضح است که در این روش فقط یک نقطه روی خط برای ما معلوم است و نیازی برای بدست آوردن نقطه دوم روی خط وجود ندارد.همچنین در این روش مشتق x ،حاصل حد زیر است:



ارتباط مشتق با علم فیزیک :

مشتق نقش مهمی در تعریف برخی ار کمیتهای فیزیک حرکت دارد.ما با داشتن موقعیت اجسام بر حسب زمان میتوانیم سرعت و شتاب آنها را محاسبه کنیم.اگر ما از معادله مکان جسم بر حسب زمان مشتق بگیریم معادله سرعت بدست میآید و اگر از معادله سرعت مشتق گیری نماییم(مشتق دوم معادله مکان)معادله شتاب حاصل میشود.

نقاط بحرانی :

نقاطی از تابع که به ازای آنها مشتق تابع تعریف نشده و یا برابر صفر باشد را نقاط بحرانی مینامند.اگر مشتق دوم در یک نقطه بحرانی مثبت باشد،آن نقطه مینیمم نسبی است.و اگر منفی باشدماکزیمم نسبی است،و اگر برابر صفر باشد ممکن است ماکزیمم و مینیمم نسبی نباشد.مشتق گرفتن و بدست آوردن نقاط بحرانی،اغلب ساده ترین راه برای پیدا کردن مینیمم و ماکزیمم نسبی است.(دربهینه سازی نیز این روش بسیار مفید است.به طور کلی مینیمم و ماکزیمم نسبی فقط میتوانند جزئ نقاط بحرانی باشند.

تجزیه و تحلیل نمودارها :

مشتق ابزار مناسبی برای آزمودن نمودار تابع است. نقاطی از دامنه تابع که به ازای آنها مشتق اول برابر صفر شود میتوانند نقاط اکسترمم نسبی تابع باشند.البته باید توجه کرد که تمام نقاط بحرانی نقاط اکسترمم نسبی نیستند.برای مثال تابع یک نقطه بحرانی در x=0 دارد، ولی میتوان از نمودار تابع متوجه این نکته شد که تابع در این نقطه دارای ماکزیمم یا مینیمم نسبی نیست.
آزمون مشتق اول و آزمون مشتق دوم ، روش هایی را برای تشخیص نقاط ماکزیمم و مینیمم نسبی فراهم میکند.لازم به ذکر است در فضاهای چند بعدی نقاط اکسترمم را با استفاده از مشتقات جزئی بدست میآورند.

 

رسم خم با استفاده از مشتق اول:

وقتی بدانیم که تابعی در هر نقطه از بازه‌ای مشتق دارد، بنابر قضایای مشتق خواهیم دانست که تابع در سراسر آن بازه پیوسته است و نمودارش در آن بازه قطع شدگی ندارد. مثلا نمودارهای توابع مشتقپذیر y=Sin x همانند نمودار چند جمله‌ایها ، هر چه ادامه بیابند قطع نمی‌شوند. نمودارهای y = tan x و y = 1/x2 صرفا در نقاطی که توابع مربوط تعریف نشده هستند قطع می‌شوند. بر بازه‌ای که این نقاط را شامل نباشند توابع مزبور مشتق پذیرند؛ و بنابراین پیوسته‌اند و نمودارهایشان قطع شدگی ندارد. اگر بدانیم مشتق تابعی کجا مثبت و کجا منفی و کجا صفر می‌باشد، آنگاه می‌توانیم درباره شکل نمودار آن تابع اطلاعاتی بدست آوریم. با دانستن این مطلب می‌توان مشخص کرد که نمودار در کجا بالا می‌رود ، پایین می‌آید یا مماس افقی دارد.

تایعی چون (y = f(x را سراسر یک بازه Iصعودی می‌گویند. هرگاه با افزایش y , x هم زیاد شود ؛ و در سراسر I نزولی گویند هرگاه با افزایش x و y کاهش یابد. وقتی x در I از چپ به راست حرکت می‌کند نمودار یک تابع صعودی ، خیز بر می‌دارد و نمودار یک تابع نزولی افت می‌کند. صعود یک تابع با مشتقهای مثبت همراه است و نزول تابع با مشتقهای منفی. بنابراین اگر ´f در هر نقطه از یک بازه I مثبت لاشد آنگاه f بر I صعود می کند. و اگر ´f در هر نقطه I منفی باشد، آنگاه f بر I نزول می‌کند. این واقعیتها را به عنوان آزمون مشتق اول برای صعودی و نزولی بودن می‌پذیریم. آزمون مشتق اول به زبان هندسی حاکمی است که توابع مشتقپذیر بر بازه‌هایی صعود می‌کنند که نمودارشان شیب مثبت داشته باشند و بر بازه‌هایی نزول می کنند که نمودارشان شیب منفی داشته باشند.

مماسهای افقی:

از آنجا که مشتقی چون ´f در هر بازه I یی که َf تعریف شود دارای ویژگی مقدار میانی است، هر وقت ´f در این بازه تغییر علامت می‌دهد، باید مقدارش صفر شود. پس هر وقت َf در بازه I تغییر علامت می‌دهد نمودار f باید مماس افقی داشته باشد. اگر وقتی x از چپ به راست می‌رود و از نقطه‌ای چون C می‌گذرد، مقدار ´f از مثبت به منفی تبدیل شود، آنگاه مقدار f در c یک مقدار Max موضعی f است. به همین ترتیب اگر وقتی x از از چپ به راست حرکت می‌کند و از نقطه‌ای چون d می‌گذرد. مقدار ´f از منفی به مثبت تبدیل شود. مقدار f در d یک مقدار Min موضعی f است. *نمی‌توان گفت که هر وقت مشتق صفر شد الزاما تغییر علامت در نمودار تابع ایجاد می‌شود، بنابراین گاهی اوقات در حالی که Min , Max وجود ندارند مماس افقی وجود دارد، مثل تابع y = x3 با اینکه y´= 3x2 در مبدأ صفر است و در هر دو طرف مثبت است. با این همه مماس افقی y=0 نمودار y = x3 را در مبدأ قطع می‌کند.

تقعر و نقطه عطف:

در این قسمت چگونگی رسم دقیق‌تر نمودار با استفاده از علامت مشتق دوم تابع را تشریح می‌کنیم. همان طور که می‌دانیم تابع y = x3 (برای خودتان رسم کنید) همراه با افزایش x صعود می‌کند. اما قسمتی از خم که مربوط به بازه (0, ∞-) و قسمت مربوط به (∞و0) در جهتهای متنفاوتی می‌پیچیند، اگر در امتداد خم از سمت چپ به طرف مبدأ برویم پیچش خم به سمت راست است. وقتی از مبدأ دور می‌شویم، خم به سمت چپ می‌پیچد. توصیف پیچش به طریق دیگر این است که وقتی نقطه تماس از سمت چپ به مبدأ میل می‌کند مماس بر خم در جهت ساعت می‌چرخد، در این حالت شیب خم تقلیل می‌یابد. وقتی نقطه تماس از مبدأ وارد ربع اول می‌شود، مماس در خلاف جهت ساعت می‌چرخد. در این حالت می‌گوییم شیب خم زیاد شده است. بنابراین برای یافتن روی تقعر توسط مشتق باید بگوییم در بازه‌ای که ´y کم می‌شود تقعر رو به پایین دارد و در بازه‌ای که ´y زیاد می‌شود تقعر رو به بالا دارد. توسط آزمون مشتق دوم می‌توانیم بگوییم در نمودار (y = f(x ، در بازه‌ای که مشتق دوم y کوچکتر از صفر باشد، تقعر رو به پایین دارد. در بازه ای که مشتق دوم y بزرگتر از صفر باشد، تقعر رو به بالا دارد.

کاربرد نقطه عطف در رسم توابع :

نقطه‌ای از خم که در آن تقعر عوض می‌شود نقطه عطف داریم. پس نقطه عطف خمی که دو بار مشتق پذیر است نقطه‌ای است در یک طرفش مثبت و در طرف دیگرش منفی است و خود مشتق دوم y در نقطه عطف مقدار صفر دارد. البته ممکن است مشتق دوم y در نقطه‌ای که عطف نیست صفر باشد. همچنین ممکن است نقطه عطف در جایی باشد که مشتق دوم y وجود نداشته باشد.

مجانبها و تقارن :

در این قسمت توابع گویا از x را با در نظر گرفتن رفتارشان ، وقتی مخرج به صفر نزدیک یا x از لحاظ عددی بزرگ می‌شود، بررسی می کنیم. نمودار تابع های زوج وفرد تقارنهایی دارند که آگاهی از آنها برای ترسیم نمودارشان مفید و مهم است.


  • باید این را بدانیم که نمودار توابع زوج نسبت به محور yها متقارن است و نمودار توابع فرد نسبت به مبدأ مختصات متقارن می‌باشد.

مجانبهای افقی و قائم :

وقتی یک نقطه p روی نمودار تابعی چون (y = f(x رفته رفته از مبدأ دور می‌شود، ممکن است فاصله بین p و خطی ثابت به صفر نزدیک شود؛ به عبارت دیگر ، خم وقتی از مبدأ دور می‌شود به خط میل کند. در این حالت ، خط را مجانب نمودار می‌نامند.


خط y = b مجانب افقی نمودار (y = f(x است اگر داشته باشیم: حد تابع (y = f(x وقتی که x به سمت بینهایت و یا منفی بینهایت میل می‌کند برابر با b شود.


خط x = a مجانب قائم نمودار تابع است، اگر داشته باشیم: حد تابع (y = f(x وقتی که x به سمت a- و یا a+ میل می‌کند برابر با ∞± شود.

مجانب مایل :

اگر تابع گویایی خارج قسمت دو چند جمله‌ای باشد که عامل مشترک نداشته باشند و اگر درجه صورت ، یک واحد از درجه مخرج بیشتر باشد، آنگاه نمودار یک مجانب مایل دارد. و بطور کلی برای رسم نمودار یک تابع باید مجانبها ، تقعرها ، نقاط عطف ، مماسها ، نقاط اکسترمم باید مشخص باشند.

کاربردها :

رسم توابع مورد بحث ما در جاهای بسیار وسیع کاربرد دارد. برای مثال پرتاب یک موشک یا یک سفینه با بدست آوردن توابع مربوط و رسم نمودار آ«ها توسط کامپیوتر قبل از عملیات پرتاب توسط مهندسین مورد بررسی قرار میگیرد تا نحوه حرکت و سایر موارد مو شکافی گردد. در ستاره شناسی ، مکانیک ، شیمی و حتی علوم انسانی رسم نمودار توابع از ارزش اجتناب ناپذیری برخوردار است.

اکسترمم:

اگر تابع در فاصله ی تعریف شده باشد، آنگاه نقطه ی از نقاط داخلی این فاصله رایک نقطه ی ماکزیمم (یا یک نقطه ی مینیمم) تابع گویند، اگر همسایگی این نقطه مانند وجود داشته باشد به طوری که برای هر در این فاصله، نامساوی (یا ) برقرار باشد. نقاط ماکزیمم و مینیمم تابع را نقاط حد نهایی یا نقاط اکسترمم تابع می گویند.



 

شرط لازم وجود اکسترمم :

در نقاط اکسترمم مشتق صفر است و یا وجود ندارد.
توجه: نقاطی که در آن ها یا وجود نداشته باشد را نقاط بحرانی گویند.



 

شرط های کافی وجود اکسترمم :

  1. چنانچه تابع در همسایگی از پیوسته باشد:
    1. اگر وقتی ، و وقتی ، (یعنی زمانی که از طرف چپ به طرف راست نقطه ی حرکت کنیم، علامت مشتق از مثبت به منفی تبدیل شود)، آنگاه نقطه ی ماکزیمم است.
    2. اگر وقتی ، و وقتی ، (یعنی در حرکت از طرف چپ به طرف راست نقطه ی ، علامت مشتق از منفی به مثبت تبدیل شود)، آنگاه را نقطه ی مینیمم گویند.
    3. اگر علامت مشتق در دو طرف نقطه ی ثابت بماند، آنگاه این نقطه اکسترمم نیست.
  2. چنانچه تابع در نقطه ی بحرانی دوبار مشتق داشته باشد، اگر ، آنگاه تابع در نقطه ی ماکزیمم دارد و اگر ، آنگاه مینیمم تابع است ولی اگر ، در این حالت موجودیت اکسترمم در نقطه ی مذکور معلوم نیست.
  3. جنانجه ولی ، اگر زوج باشد، آنگاه وقتی تابع در ماکزیمم است و وقتی تابع در این نقطه مینیمم است. حال اگر فرد باشد، آنگاه در نقطه ی اکسترمم وجود ندارد.
  4. چنانچه تابع با معادلات پارامتری مشخص شده باشد که در آن در فاصله ی تغییرات متغییر مشتقات مرتبه ی اول و دوم دارند و ، به علاوه در ، آنگاه:
    1. اگر آنگاه تابع در ماکزیمم دارد.
    2. اگر آنگاه تابع در مینیمم دارد.
    3. اگر ، در این حالت موجودیت اکسترمم در این نقطه معلوم نیست.

محاسبه ی بیشترین و کمترین مقدار تابع :

بیشترین (یا کمترین) مقدار تابع پیوسته ی در فاصله ی یا در نقاط بحرانی و یا در نقاط انتهایی فاصله است. برای تعیین بیشترین (یا کمترین) مقدار تابع، مقدار آن در تمام نقاط بحرانی واقع در فاصله ی ، و مقادیر را حساب می کنیم و سپس بیشتری (یا کمترین) مقدار بین آن ها را انتخاب می کنیم.
اگر فاصله ای که تابع در آن تعریف شده است فاصله ی باز باشد، ممکن است تابع بیشترین (یا کمترین) مقدار نداشته باشد.

+ نوشته شده در  سه شنبه بیست و هفتم آذر 1386ساعت 1:20 بعد از ظهر  توسط مجید  | 

مطالبی پیرامون ریاضی عمومی


۱. اثبات اصم بودن عدد پی:
       
     توضیحات: در این نکته، برهان مشهور "ایوان نیو ِن" را در اثبات اصم بودن عدد پی    
                      مشاهده می فرمایید.
                      ( مقاله اصلی را می توانید با مراجعه به اینجا دانلود کنید. چند اثبات دیگر را در سه 
                      منبع  ۱ ، ۲  و ۳  مطالعه فرمایید. با تایپ عبارت "PI is Irrational" در گوگل به مطالب
                      دیگری نیز دست خواهید یافت.)


۲. اثبات اصم بودن عدد e :

  
 توضیحات: می دانیم که عدد مشهور e عددی اصم است. در این نکته برهان کوتاهی از این
                  مطلب را خواهید دید.


۳.  بررسی ریشه های مشتق یک تابع به وسیله قضیه آخر فرما:

     توضیحات:
 در این نکته مولف تابعی خاص را در نظر گرفته و به وسیله آخرین قضیه فرما یا FLT ، ثابت
                    می کند که مشتق این تابع در x=0 ، صفر نمی شود. (برای اطلاعات کلی پیرامون آخرین
                    قضیه فرما به اینجا و اینجا مراجعه فرمایید. با تایپ عبارت  "Fermat's Last Theorem" در
                    گوگل به مطالب دیگری نیز دست خواهید یافت.)

۴. فرمولهایی برای محاسبه عدد پی:

    توضیحات: در این نکته، سریهای همگرایی را که به وسیله آنها عدد پی محاسبه می شود، ملاحظه
                   خواهید کرد. البته در این مقاله، فرمولهای دیگری نیز در همین رابطه وجود دارد.

۵.  مجموع توانهای k  ام اعداد طبیعی 1، 2،...،n :

     توضیحات: در این نکته، فرمولهای جالبی برای 0424 به دست می آید.

۶.  دوازده مقاله کوتاه و جالب پیرامون عدد پی

    توضیحات: با کلیک بر پیوند بالا وارد صفحه ای خواهید شد که شامل ۱۲ مقاله با قالب pdf  پیرامون
                   «عدد پی» است. مطالعه بعضی از این مقالات به معلوماتی از آنالیز ریاضی نیازمند
                   است. موضوعات این مقاله ها عبارتند از:

                 - محاسبه عدد پی به روش ارشمیدس
                 - ارتباط بیضی، منحنی حلزونی ارشمیدس و سیکلوئید با عدد پی
                 - منحنی هایی با طول ثابت
                 - فرمولهای «ویت Viete» و «والیس Wallis»
                 - چند سری نامتناهی برای عدد پی
                 - استفاده از تابع آرکتانژانت برای محاسبه عدد پی
                 - فرمولی شگفت انگیز از اویلر
                 - پی و سری فوریه
                 - عدد پی و عدد e                  
                 - اصم بودن عدد پی
                 - فرمولهای گاوس، رامانوجان و  بیلی-بوروین-پلوف برای محاسبه سریعتر عدد پی
                 - پی در نظریه احتمال و نظریه اعداد

۷.  جدول مشتق توابع (قالب pdf)

     توضیحات: در این جدول، قوانین کلی مشتق گیری و نیز فرمولهای مشتق توابع نمایی و لگاریتمی،
                   توابع مثلثاتی و معکوس مثلثاتی و مشتق توابع هذلولوی و معکوس هذلولوی را مشاهده
                   خواهید کرد. این جدول شامل ۳۶ فرمول مختلف است.

۸.  جدول بزرگ انتگرالهای توابع (فالب pdf)  

     توضیحات:
این جدول شامل ۱۲۰ انتگرال مختلف در ۱۰ فرم متفاوت از توابع است.  

۹. حل معادلات درجه اول تا چهارم

   توضیحات: با کلیک بر عبارت بالا وارد سایتی خواهید شد که در آن مقالات کوتاه متعددی درباره حل
                   معادلات درجه اول تا چهارم و معادلات خطی دیگر گنجانده شده است. مقالات در قالب
                   pdf هستند.

    

+ نوشته شده در  چهارشنبه هفتم آذر 1386ساعت 4:3 بعد از ظهر  توسط مجید  | 

معرفی سایت

 چندسایت مناسب برای ریاضی عمومیچند سایت مناسب برای این درس :

Calculus Help (General Calculus Help)

Caluluc101 (a web page that does any derivative or integral step by step with explanations (there is a small fee for integrals))

Ask Mr. Calculus (This kind man will answer your calculus questions if you e-mail him. Please do not send any questions to Calculus-Help.com, as time constraints do not allow me to answer them.)

bullet

Karl's Calculus Tutor (Very in-depth explanations for any calculus concept you could imagine)

+ نوشته شده در  سه شنبه بیست و نهم آبان 1386ساعت 6:5 بعد از ظهر  توسط مجید  | 

کتاب ریاضی عمومی1

+ نوشته شده در  سه شنبه بیست و نهم آبان 1386ساعت 6:4 بعد از ظهر  توسط مجید  | 

کتاب ریاضی عمومی2

ریاضی عمومی 2 – تالیف مهدی نجفی خواه :

 

 

ü      روی جلد

ü      دیباچه

ü      فهرست مطالب

ü      فصل 1 : جبر خطی

ü      فصل 2 : هندسه تحلیلی

ü      فصل 3 : توابع برداری

ü      فصل 4 : حد و پیوستگی توابع چند متغیره

ü      فصل 5 : مشتق و کاربردهایش

ü      فصل 6 : انتگرال دو گانه

ü      فصل 7 : انتگرال سه گانه

ü      فصل 8 : انتگرال خط

ü      فصل 9 : انتگرال سطح

ü      استفاده از میپل

ü      فهرست منابع

ü      فهرست اعلام

مشاهده این متون به نرم افزارAcrobat reader  نیاز دارید.

   آشنایی با نرم افزار میپل و استفاده از آن در ریاضی عمومی 2

 

پاسخ مسایل محاسباتی با استفاده از نرم افزارمیپل

ü     فصل 1- بخش 1.1 تا 1.5

فایل میپل آن

ü     فصل 1- بخش 1.6 تا 1.9

فایل میپل آن

ü     فصل 2 – بخش 2.1 تا 2.5

فایل میپل آن

ü     فصل 2 – بخش 2.6 تا 2.8

فایل میپل آن

ü     فصل 3

فایل میپل آن

ü     فصل 4

فایل میپل آن

ü     فصل 5 – بخش 5.1 تا 5.3

فایل میپل آن

ü     فصل 5 – بخش 5.4 تا 5.6

فایل میپل آن

ü     فصل 5 – بخش 5.7 تا 5.11

فایل میپل آن

ü     فصل 5 – بخش 5.12 تا 5.14

فایل میپل آن

برگشت به سایت درس ریاضی عمومی 2                      

 

انتشارات ساحل اندیشه تهران، 1386

+ نوشته شده در  سه شنبه بیست و نهم آبان 1386ساعت 6:1 بعد از ظهر  توسط مجید  | 

اعداد حقیقی

اعداد اولین بار در شمارش ظاهر شدند که همان اعداد طبیعی { .... ,۳ ,۲ ,۱ } بودند که با نظیر کردن هر شئ به این اعداد عمل شمارش صورت می گرفت. اما همیشه کمییتهای مورد اندازه گیری گسسته نیستند بنابراین اعداد طبیعی جواب گو نخواهند بود .

برای مثال باید نسبت وزن دو جسم را نیز یک عدد تلقی کرد.مثلا فرض کنید دو جسم M و N را در اختیار داریم برای مقایسه این دو جسم همجنس جسم همجنس سوم K را که کوچکتر از ان دو می باشد در نظر می گیریم که اندازه دو جسم M و N مضرب طبیعی از جسم سوم K باشد در این صورت جسم K در در جسم M به تعداد طبیعی m بار ظاهر شده و نیز جسم K به تعداد n بار در جسم N .

 نسبت جسم M به جسم N که برابر است با m/n یک عدد پدید می اورد که در ان m و n اعداد طبیعی هستند . به این گونه اعداد , اعداد گویا گویند. اگر فرض شود که جسم N واحد باشد و ان را با 1 نمایش دهیم انگاه بین m/1 و m تمایزی قایل نمی شویم و این یعنی این که اعداد گویا اعداد طبیعی را در بر گرفته است و مجموعه ای گسترده تر ساخته ایم.

اما اعداد گویا نیز نیاز ها را رفع نمی کنند. چرا که اگر مربعی به ضلع a را در نظر بگیریم بنا به قضیه فیثاغورس قطر این مربع برابر است با رادیکال دو برابر a .

اگر نسبت قطر مربع را به ضلع ان بسنجیم , واضح است که حاصل برابر (رادیکال دو ) خواهد بود . بنا به برهان مشهوری می توان ثابت کرد که (رادیکال دو) عددی گویا نیست که به عنوان تمرین ان را ثابت کنید (به عنوان راهنمایی : از فرض خلف استفاده کنید ).

بنابراین به وجود یک سری از اعداد دیگر پی می بریم و برای انها تعریف :

اعدادی که گویا نباشند را نا گویا یا اصم نامیم

 

ارایه می دهیم:

به اجتماع اعداد گویا و اصم اعداد حقیقی گوییم .اما مطلب به این سادگی نیست که در تعریف مشاهده می شود برای ساخت اعداد حقیقی به یک سری تعاریف و لم احتیاج هست که بحثی تخصصی و ریاضی وار می باشد و گفتن ان در وبلاگ امکان پذیر نیست. اما روش ساخت اعداد حقیقی در کتب انالیز ریاضی مورد بحث قرار می گیرند. روش ارائه شده برای ساخت اعداد حقیقی توسط ریاضی دان بزرگ ددکیند بسیار جالب و جذاب است و تحت نام برش ددکیند در کتاب های انالیز ریاضی موجود هست.

                                                الهام گرفته از جزوه دکتر شهشهانی استاد دانشکده ریاضی شریف

+ نوشته شده در  جمعه بیست و پنجم آبان 1386ساعت 11:38 قبل از ظهر  توسط مجید  | 

انتگرال دوگانه

به انتگرال زیر توجه کنید این انتگرال معین به راحتی قابل محاسبه نیست مگر این که از انتگرال دوگانه کمک بگیریم .مراحل کار به صورت زیر هست:

اسم انتگرال را I می ذاریم .چون انتگرال معین هست و یک عدد جوابش می باشد تغییر متغییر از x به y تاثیری در جواب ان ندارد پس حاصل ان نیز هم I می شود این دو را در هم ضرب و بعد از خواص تابع e کمک گرفته و با توجه به تکنیکهای انتگرال دوگانه و روش تغییر متغییر به مختصات قطبی به راحتی جواب مسئله پیدا می شود .

اکنون مراحل بالا را پیاده می کنیم یعنی:

 
+ نوشته شده در  جمعه بیست و پنجم آبان 1386ساعت 11:34 قبل از ظهر  توسط مجید  | 

محاسبه انتگرال

+ نوشته شده در  جمعه بیست و پنجم آبان 1386ساعت 11:33 قبل از ظهر  توسط مجید  | 

تابع و ناپیوستگی

 
0
 ریاضی
تعریف : تابع رابطه ای یکتا بین اعضای یک مجموعه به اعضای مجموعه ای دیگر است . اکثر اوقات تابع را از مجموعه A به مجموعه ‌‌‌‌‌B و با علامت f نمایش می دهیم . به طوری که به ازای هر a in A شئ یکتای f(a) in B موجود باشد .

بنابراین یک تابع می تواند پوشا یا یک به یک یا هر دو باشد . اعضای مجموعه A را که تابع روی ان تعریف می شود دامنه یا Domain و اعضای مجموعه B را که تابع انرا تولید می کند برد یا Range گوییم .

متناظر با هر تابع یک گراف (نمودار) وجود دارد به مثال زیر توجه کنید :

Functions

Sin x تابع پوشا و x یک به یک و x^2 هم یک به یک و هم پوشا است .

از چند نتیشن برای نشان دادن تابع استفاده می کنیم که پر کار برد ترین انها

f:x->f(x)

می باشد.توابعی که دامنه و برد انها اعداد حقیقی باشد با نام توابع حقیقی شناخته می شوند .

 

 

  ناپیوستگی

شکل سمت راست یک ناپیوستگی در یک بعد را نشان می دهد و سمت چپ یک ناپیوستگی در سه بعد .

Discontinuity
Discontinuity3D

 

 

 



 


 
 

 

+ نوشته شده در  جمعه بیست و پنجم آبان 1386ساعت 11:28 قبل از ظهر  توسط مجید  | 

انتگرال

 
+ نوشته شده در  جمعه بیست و پنجم آبان 1386ساعت 11:13 قبل از ظهر  توسط مجید  | 

منحنی زین اسبی

اینم منخنی زین اسبی که دانشجویان با شکل اون مشکل دارن چون نمیشه اونو تو صفخه خوب رسم کرد البته دکتر ساده از امیر کبیر تو رسم شکلهای پیچیده ماهره و اون این منخنی رو عالی کشید:

 

تصویر

+ نوشته شده در  جمعه بیست و پنجم آبان 1386ساعت 11:11 قبل از ظهر  توسط مجید  | 

یک سوال از ریاضی عمومی

همه خطوط راستی را بیابید که در رویه 0336 قرار دارد.

منبع: مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی-مساله ۲۰

حل مساله:

معادله پارامتری خطی که از نقطه 0337 و در راستای 0338 می گذرد توسط معدلات زیر داده می شود:

0339

شرط لازم و کافی برای آنکه چنین خطی در رویه 0336 واقع شود آن است که برای هر t داشته باشیم:

0340

لذا 0341. اما d1 و d2 نمی توانند همزمان صفر شوند، زیرا در این صورت باید داشته باشیم:0342 که تناقض است. پس

0343

لذا تنها خطوط راستی که در رویه 0336 واقعند به شکل 0344 یا به شکل 0345 هستند که در آن a عدد ثابت و دلخواهی است. شکل رویه 0336 را ذیلاً مشاهده می فرمایید.

+ نوشته شده در  پنجشنبه بیست و چهارم آبان 1386ساعت 10:26 قبل از ظهر  توسط مجید  |