زورنالهای الکترونیکی

برای مطالعه آنلاین ژورنال های مربوط به آنالیز ریاضی در سالهای ۲۰۰۸-۲۰۰۷ می توانید به سایت زیر مراجعه نمایید:

http://www.m-hikari.com/ijma/index.html

INTERNATIONAL JOURNAL OF
MATHEMATICAL ANALYSIS

نمونه سوالت معادلات دیفرانسیل

1. جواب عمومی دستگاه زیر را به دست آورید.

2. چهار جمله از جواب معادله دیفرانسیل زیر را بر حسب سری توانی حول نقطه ی x = 0 به دست آورید.

( راهمنمایی : cos x را برحسب سری مکلورن بنویسید. )

3. الف : تبدیل لاپلاس را تعریف کنید.

ب : ثابت کنید که جایی که .

ج : انتگرال زیر را محاسبه کنید.

د : عکس تبدیل زیر را محاسبه کنید :

4. معادله دیفرانسیل مفروض است که در آن a یک مقدار ثابت است.

الف : نقاط تکین منظم آن را به دست آورید.

ب : جواب های این معادله دیفرانسیل به صورت سری حول نقطه ی x = 1 محاسبه کنید.

ج : اگر a یک عدد مثبت غیر صفر باشد ، آنگاه نشان دهید که یک جواب معادله به صورت سری است.

د : شعاع تقارب سری را به دست آورید.

5. تابع گاما را تعریف کنید و انتگرال زیر را محاسبه کنید :

6. معادله انتگرالی زیر را حل کنید :

7. الف : ثابت کنید جایی که تابع بسل از مرتبه ی p است.

ب : با استفاده از قسمت الف ، را محاسبه کنید

جواب معمای میمون

بی شک یکی از دلایل علاقه ی لوییز کارول به این معما متنوع بودن پاسخ های ناصحیحی بود که از آن به دست می آمد و بر صحت آنها اصرار می شد.

لوییز بر این بود که چون میمون از طناب بالا رود با سرعتی افزایش یابنده سقوط خواهد کرد. بعضی ها می گفتند وزنه خواهد افتاد یا هیچ گونه تأثیری نخواهد داشت.

نتیجه ی واقعی این است که بی توجه به چگونگی بالا رفتن میمون، وزنه همواره مقابل او خداهد بود(تنها به سبب سادگی کار فرض می شود که میمون و وزنه در آغاز برنامه مستقیما مقابل یکدیگر قرار دارند).

نیرویی که میمون برای بالا کشیدن خود از طناب بر آن به کار می برد، وزنه را به فاصله ای مساوی بالا می کشد. حتی اگر میمون سقوط کند و دوباره طناب را بگیرد، باز خود را مقابل وزنه می یابد. زیرا در این صورت هم وزنه و هم میمون، با سرعتی یکسان سقوط خواهند کرد.  

 معمای میمون! 

لوییز کارول ریاضی دان آکسفورد خالق اثر معروف ماجراهای آلیس در سرزمین عجایب است. او هیجان بسیاری با این سؤال به ظاهر ساده نیز به وجود آورده است:

وزنه ای به طنابی آویزان است که ازروی یک قرقره می گذرد و میمونی که از آن طرف طناب آویزان است،        

وزنه را در حال تعادل نگه داشته است. اگر میمون سعی کند از طناب بالا رود، به سر وزنه چه خواهد آمد؟

(فرض می کنیم طناب و قرقره بی وزن و بدون اصطکاک و طناب کاملا انعطاف پذیر و کشش ناپذیر باشد.)

ظاهرا این معما یکی از دو معمای مورد علاقه ی کارول بوده و تا امروز بسیاری از اشخاص تحصیل کرده را متحیر و مایوس کرده است. این بار نوبت شماست! حدس هایتان را با جواب مقایسه نمایید تا بفهمید چقدر باهوشید.

 

 

 

 

---

گالوا و آبل نوابغ ناکام تقدیم به بچه های رشته ریاضی که جبر ۲ دارند!!

اواريست گالوا:

« جاودانگی را می توان نه با بذل جان ، بلکه با پیروزی عقل به دست آورد... از این بابت حق دارم جاودانه باشم و نه تنها در فرانسه بلکه بین تمام کسانی که ریاضیات را می‌فهمند. »

گالوا که زندگیش در تاریخ علم صفحه‌ای اندوهبار گشوده است در 26 اکتبر 1811م در پاریس متولد شد. در 14 یا 15 سالگی بجای انجام تکالیف عادی دبیرستان اوقات خود را صرف مطالعه در هندسه لژاندر و آثار بزرگ لاگرانژ و اکتشافات آبل می‌نمود. وی پس از عدم موفقیت در امتحان ورودی مدرسة پلی تکتنیک و نیز رانده شدن از دانشسرای عالی و مخصوصاً به سبب آشنا نبودن با دانشمندان مشهور وارد مبارزات سیاسی شد،‌ او عقیده داشت:
«من برای دانشمند شدن چیزی کم دارم و بنابراین قلب من آرزوئی دارد که مغز من قادر به انجام آن نیست.»
گالوا پس از چند ماه زندانی شدن آزاد شد. ولی درحالی که فقط چند روز بیش از بیست سال و هفت ماه داشت در یک دوئل بخاطر زنی هرجائی مجروح گردید. شاید در تمام تاریخ علم فصلی حزن انگیز‌تر از شب 29ماه مه 1832وجود نداشته باشد. جمله معروف" من وقت ندارم " را گالوا در يک يادداشت حاشيه ای، احتمالاً در شب قبل از دوئل، در ارتباط با برهان گزاره دوم خود که گفته است نياز به تکميل شدن دارد، نوشته است. چون ديگر وقت کافی برای تکميل آن برهان نداشت. گرچه در ابتدا، اثباتش غلط به نظر می رسد. او درباره دوئلي که فردای آن شب جان او را گرفت نيز می نويسد: « من قرباني يک زن عشوه گر گمنام شده ام... اين يک نزاع اسف بار است که جان مرا می ستاند ... آه! چرا بايد برای يک چيز بی ارزش بميرم ... »

 سرانجام، دوئل در 25 قدمی صورت گرفت. تير به شکم گالوای بدشانس خورد و به زمين افتاد. ساعت ها در آنجا ماند تا آنکه دهقانی که از آنجا عبور می کرد ، او را به بيمارستان برد.گالوا روز بعد، يعنی 31 مه 1832 در سن 20 سالگی فوت کرد و در بخش عمومی قبرستان مونت پارناس به خاک سپرده شد.

شهرت گالوا 14 سال پس از مرگش آغاز شد. به طوری که در حال حاضر يکي از بزرگترين رياضيدانان خلاق تمام عصرها به شمار می آيد. او زنده نماند تا به گسترش عميق تر کاربردها و توسعه نظريه خود که بعدها "نظريه گالوا" نام گرفت، بپردازد. نظريه گالوا امروزه يکي از مباحث مهم و پرکاربرد جبر مجرد و نظريه گروه ها است. حتی امروز، رياضيات در اثر حادثه غم انگيزی که برای او روی داده است، احتمالاً بضاعت کمتری دارد.
گالوا «تئوری گروهها» را که قبلاً بوسیله کوشی و لاگرانژ مطالعه شده بود در معادلات جبری به کار برد و گروه جانشینی هر معادله را مشخص کرد. این تئوری که امروزه تعمیم یافته و در عین حال ساده‌تر شده است برای حل مسائل گوناگون بکار می‌رود و وسیلة جستجوی بدست فیزیکدانان زمان ما داده است.

نیل هنریک آبل:

نیل هنریک آبل متولد اوت 1802 در سال 1824 ثابت نمود که صرفنظر از معادلات درجة اول تا درجة چهارم، هیچ دستور جبری که بتواند معادلة درجه پنجم را به نتیجه برساند وجود ندارد و برای اینکه کارهای خود را به دیگران بشناساند در سال 1825 به آلمان سفر کرد و چون در آنجا نشانی از زندگی بدست نیاورد به پاریس روی نهاد. آبل در این شهر در شاهکار بزرگ خود دست دیگری برد و مقاله‌ای «دربارة خاصیت عمومی طبقة بسیار وسیعی از توابع غیر جبری» انتشار داد. وی در نتیجة مکاشفه‌ای که تنها حاصل نبوغش بود توانست راه خود را کج کند و انتگرالهای بیضوی لژاندر را مورد مطالعه قرار دهد و کشف او آنقدر استادانه بود که با نهایت سادگی کاری را که استاد بزرگ مزبور در مدت چهار سال انجام داد تبدیل به هیچ کرد.

آبل این کشف ذیقیمت خود را به کوشی سپرد. اما افسوس! کوشی آنرا گم کرد و نروژی بیچاره در حالی که آخرین شاهی خود را مصرف کرده بود و آخرین امید خود را از دست داده بود ناچار شد به وطنش مراجعت کند، و هم در آنجا بود که آبل در نتیجه محرومیتها و گرفتاریهای فراوان به مرض سل مبتلا گشت و در ششم آوریل 1829م جان سپرد. دو روز پس از آن تاریخ کوشی نسخة خطی او را پیدا کرد و آکادمی علوم از ارزش آن آگاه شد و جایزة بزرگ خود را به آپل و ژاکوپی آلمانی تخصیص داد. ولی آبل آنچنان فراموش شده بود که نامی از او در میان نبود و کسی نمی‌دانست که دو سال پیش مرده است

رهیافتی به بعد چهارم(تصویری چهار بعدی ببینید)

خط d را در صفحه در نظر بگيريد. اگر O نقطه‌ي دلخواهي بر d و نقاط به ترتيب قرينه‌ي A,B نسبت به O باشند، آيا مي‌توان AB را با حركت دادن روي d بر منطبق كرد؟

 

قطعاً پاسخ منفي است. امّا با دوران AB حول O در صفحه، مي‌توان آن را بر منطبق كرد يعني با رفتن به بعدي بالاتر. [ خط يك بعدي و صفحه دو بعدي است]
خط d و مربّع ABCD در صفحه مفروض‌اند. اگر نقاط  به ترتيب قرينه‌ي A,B,C,D نسبت به d باشند، آيا مي‌توان ABCD را با حركت دادن در صفحه بر منطبق كرد؟

قطعاً پاسخ منفي است. امّا با دوران ABCD حول d در فضا، مي‌توان آن را بر منطبق كرد يعني با رفتن به بعدي بالاتر [صفحه دو بعدي و فضا سه بعدي است]
اكنون فرض كنيد روبه‌روي يك آينه‌ي قدّي ايستاده‌ايد و به تصوير و فضاي اطراف خود،در آن مي‌نگريد. سؤال اين است كه آيا با حركت در فضا مي‌توانيد بر تصوير آينه‌اي خود منطبق شويد؟
قطعاً پاسخ منفي است. پس طبق روال فوق بايد به بعد بالاتر برويم، يعني بعد چهارم! امّا فضاي چهاربعدي چگونه است؟

معرّفي فضاي چهاربعدي:
يك چهارتايي مرتب از اعداد حقيقي (x,y,z,t) يك نقطه از فضاي چهاربعدي ناميده مي‌شود. فضاي چهاربعدي داراي چهار محور مختصات است:

 

در فضاي چهاربعدي علاوه بر محور مختصات، صفحه ي مختصات نيز داريم؛ اين‌ها صفحاتي هستند كه از دو محور مختصات مي‌گذرند.
فضاي چهار بعدي داراي 6 صفحه ي مختصات است:

 

به وضوح هر يك از اين صفحات از دو محور مختصات مي‌گذرند.
امّا كار به همين جا ختم نمي‌شود، در فضاي چهاربعدي، مجموعه‌اي چون صفحه ي مختصات سه بعدي نيز داريم و آن عبارت است از مجموعه‌ي نقاطي كه يك مختص آن‌ها صفر و سه مختص ديگر مي‌توانند عددي دلخواه باشند. فضاي چهاربعدي داراي چهارصفحه‌ي مختصات سه بعدي است:

به وضوح هر يك از اين صفحات مختصات سه بعدي از سه محور مختصات مي‌گذرند و محل تلاقي هر دو تاي آن‌ها، يك صفحه‌ي مختصات است.
در اين فضا، فاصله‌ي بين دو نقطه‌ي به صورت زير تعريف مي‌شود:

 

و منظور از يك شكل هندسي، يك مجموعه‌ از نقاط است.
اكنون پس از معرّفي فضاي چهاربعدي، جهت درك بهتر آن، ساختار شكل هندسي ساده‌اي چون مكعب واحد چهاربعدي را بررسي مي‌كنيم.
پيش از پرداختن به اين موضوع، بد نيست ساختار مكعب واحد سه بعدي را يك بار مرور كنيم.
مكعب واحد سه بعدي عبارت است از .
رأس: رأس اين مكعب عبارت است از نقاطي كه مختص‌هاي آن‌ها 0 يا 1 هستند. مثلاً (1،0،0) يك رأس اين مكعب است. اين مكعب داراي 8 رأس است.
يال: يال اين مكعب عبارت است از مجموعه ي نقاطي كه دو مختص آن‌ها 0 يا 1 بوده و مختص ديگر بين 0 و 1 تغيير مي‌كند.
مثلاً يك يال اين مكعب است. اين مكعب داراي 12 يال است.
وجه: وجه اين مكعب عبارت است از مجموعه ي نقاطي كه يك مختص آن‌ها 0 يا 1 بوده و دو مختص ديگر بين 0 و 1 تغيير مي‌كنند.
مثلاً يك وجه اين مكعب است. اين مكعب داراي 6 وجه است. در شكل زير چگونگي ساختن مكعب واحد سه بعدي با استفاده از مدل گسترده‌اش را ملاحظه مي‌كنيد:

 

اكنون به بررسي ساختار مكعب واحد چهاربعدي مي‌پردازيم.
مكعب واحد چهاربعدي عبارت است از.
رأس: رأس اين مكعب عبارت است از نقاطي كه مختص‌هاي آن‌ها 0 يا 1 هستند. مثلاً (1،0،0،0) يك رأس اين مكعب است. اين مكعب داراي 16 رأس است.
يال: يال اين مكعب عبارت است از مجموعه‌ي نقاطي كه سه مختص آ‌ن‌ها 0 يا 1 و مختص باقيمانده بين 0 و 1 تغيير مي‌كند. مثلاً يك يال اين مكعب است.
اين مكعب 32 يال دارد. [چرا؟]
وجه دو بعدي: وجه دو بعدي اين مكعب عبارت است از مجموعه‌ي نقاطي كه دو مختص آن‌ها 0 يا 1 و دو مختص ديگر بين 0 و 1 تغيير مي‌كنند. مثلاً يك وجه دو بعدي اين مكعب است.
اين مكعب داراي 24 وجه دو بعدي است. [چرا؟]
وجه سه بعدي مكعب: وجه سه بعدي مكعب عبارت است از مجموعه‌ي نقاطي كه يك مختص ‌آن‌ها 0 يا 1 و سه مختص ديگر بين 0 و 1 تغيير مي‌كنند.
مثلاً يك وجه سه بعدي اين مكعب است. اين مكعب 8 وجه سه بعدي دارد.
در شكل‌هاي زير مكعب واحد چهاربعدي و چگونگي ساختن ‌آن را با استفاده ازمدل گسترده‌اش ملاحظه مي‌كنيد:

 

 

 

 

 

سخن آخر اين كه يكي از كاربردهاي مهم اين فضا در معرفي فضاي مينكوفسكي در نظريه ي مشهور نسبيت مي باشد .

انتگرالگیری مسیری (Contour integration) فرایندی است که طی آن مقادیر یک انتگرال مسیری حول یک منحنی ساده ی بسته ی فرضی (contour) در صفحه ی مختلط (complex plane) محاسبه می شوند. به عنوان یک نتیجه ی شفت انگیز و جالب توابع هولومورفیک (holomorphic functions)، چنین انتگرال هایی به راحتی می توانند با جمع مقادیر مانده های مختلط (complex residues) داخل منحنی محاسبه شوند.

فرض کنیم  و  دو چندجمله ای به ترتیب از درجه ی n و m با ضرایب , ...,  و , ...,  باشند. منحنی بسته ای در نیم صفحه ی بالایی (upper half-plane) همچون شکل بالا داریم. با تعویض x به z، می نویسیم . آنگاه

                  

یک مسیر  را که در امتداد محور حقیقی از  تا   مستقیم است، تعریف کرده و یک نیم دایره جهت اتصال دو نقطه ی انتهایی این مسیر مستقیم در نیم صفحه ی مختلط بالایی را رسم می کنیم. به کمک قضیه مانده ها (residue theorem) خواهیم داشت

            

                                                                            

که   مانده های مختلط (complex residues) را نشان می دهد. با حل

        

تعریف می کنیم

               

                  

                  

(*)                             

و مجموعه ی

              

آنگاه معادله ی (*)  خواهد شد

            

اینک،

                

برای . این بدان معناست که برای  و یا   ،  داریم

         

که در آن . در لم گوردن (Jordan's lemma) تابع مختلط مقدار  را بکار می بریم.  بنابراین بایستی داشته باشیم

              

که برای تصدیق آن باید رابطه ی  را مطالبه کنیم.

از این رو به ازای  و  داریم:

           

چون این رابطه بایستی به طور جداگانه برای قسمت های حقیقی و مختلط ارضا شود، نتیجه را می توان به دو رابطه ی مهم زیر بسط داد:

         

          

منابع:

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 406-409, 1985.

Krantz, S. G. "Applications to the Calculation of Definite Integrals and Sums." §4.5 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 51-63, 1999.

Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 353-356, 1953.

Whittaker, E. T. and Watson, G. N. "The Evaluation of Certain Types of Integrals Taken Between the Limits and ," "Certain Infinite Integrals Involving Sines and Cosines," and "Jordan's Lemma." §6.22-6.222 in A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 113-117, 1990.

مشتق تابع گامای اویلر

یک تابع خاص است که به واسطه ی مشتق لگاریتمی (logarithmic derivative) تابع گاما (gamma function) داده می شود (یا، بنابر اقتضای تعریف، مشتق لگاریتمی فاکتوریل).

به خاطر این ابهام و گنگی در تعریف، دو نوع نمادگذاری متفاوت غالباْ (نه همیشه) مورد استفاده قرار می

گیرد، اولی

              

به صورت مشتق لگاریتمی تابع گاما  و دومی به شکل

              

مشتق لگاریتمی تابع فاکتوریل تعریف می شود. این دو به وسیله ی رابطه ی

             

به هم مرتبط می شوند.

 امین مشتق تابع چندگاما (polygamma function) نامیده و با   نشان داده می شود. لذا نمادگذاری

به طور رایج برای خود تابع دی گاما بکار می رود و (Erdélyi et al. (1981 از برای  استفاده می کند.

 تابع دی گاما  در سری های ساده ای مانند زیر ظاهر می شود:

                   

که در آن مافوق لرچ (Lerch transcendent) است.

موارد خاص عبارت اند از

                 

               

               

               

قضیه ی دی گامای گائوس (Gauss's digamma theorem) می گوید که

      

(Allouche 1992, Knuth 1997, p. 94).

بسط مجانبی (asymptotic expansion) برای تابع دی گاما به صورت زیر ارائه می شود:

          

                       

                       

                       

                      

که ثابت اویلر ماشرونی (Euler-Mascheroni constant) و  اعداد برنولی (Bernoulli numbers) هستند.

تابع دی گاما در رابطه ی مهم زیر صدق می کند:

          

که برای عدد صحیح ،

         

که ثابت اویلر ماشرونی (Euler-Mascheroni constant) و   یک عدد هارمونیک یا همساز (harmonic number) است.

دیگر اتحادهایی که این تابع در آنها شرکت دارد، عبارت اند از:

       

       

       

       

مقادیر ویژه برابراند با

            

            

در مقادیر صحیح،

            

                    

Derbyshire 2003, p. 58). و در مقادیر نیمه انتگرالی داریم:

     

                    

که در آن   یک عدد هارمونیک یا همساز (harmonic number) است.

با استفاده از انتگرال مربع واحد (unit square integral) برای  نیز می توان این تابع را ظاهر کرد:

       

(Guillera and Sondow 2005). وارد کردن   در این معادله حالت خاص شامل ثابت اویلر ماشرونی (Euler-Mascheroni constant) را بدست می دهد.

سری منتسب به  به شکل زیر است:

       

یک سری لگاریتمی از تابع اخیر داریم که صورت زیر را داراست:

      

(Guillera and Sondow 2005). یک اتحاد شگفت انگیز که از سری فاکس ترات (FoxTrot series) ناشی می شود عبارت است از

منابع:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Psi (Digamma) Function." §6.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 258-259, 1972.

Allouche, J.-P. "Series and Infinite Products related to Binary Expansions of Integers." 1992

 

منابع:

Amend, B. Camp FoxTrot. Kansas City, MO: Andrews McMeel, p. 19, 1998.

Mitchell, C. W. Jr. In "Media Clips" (Ed. M Cibes and J. Greenwood). Math. Teacher 100, 339,

تابع دلتا 2 (Delta Function)

دیگر اتحاد های دربرگیرنده ی مشتق تابع دلتا عبارت اند از

 

          

          

که در آن علامت کانولوشن (convolution) است،

    

و

                 

یک رابطه ی انتگرالی که با استفاده از  نوشته می شود نیز وجود دارد:

          

تابع دلتا، همچنین از به اصطلاح خاصیت غربالگری (sifting property) نیز تبعیت می کند:

         

(Bracewell 1999, pp. 74-75).

بسط سری فوریه ی تابع دلتای  بدست می دهد

                    

                       

                    

                       

بنابراین

            

                       

تابع دلتا را می توان به صورت یک تبدیل فوریه (Fourier transform) به شکل زیر نوشت

            

و به طور یکسان،

             

(Bracewell 1999, p. 95). به طور کلی تر تبدیل فوریه ی تابع دلتا عبارت است از

        

تابع دلتا در قالب حد های زیر که در آنها  هم گاهاْ تعریف می شود

              

                    

                    

                    

                   

                  

                 

که  تابع هوایی (Airy function)،  تابع بسل نوع اول (Bessel function of the first kind) و   یک چندجمله ای لاگر (Laguerre polynomial) از مرتبه ی صحیح مثبت دلخواه است. 

  

این تابع را همانطور که در شکل بالا قابل مشاهده است، می توان به صورت تابع حدی ذیل تعریف کرد

                 

تابع دلتا در ۲ بعد نیز تعریف می شود، به صورتی که در مختصات دکارتی (Cartesian coordinates) دو بعدی داریم:

          

         

         

و

        

در مختصات قطبی (polar coordinates) نیز داریم

            

(Bracewell 1999, p. 85).

در مختصات ۳ بعدی دکارتی هم اوضاع به همان شرایط بالا است

             

           

و

            

در مختصات استوانه ای (cylindrical coordinates) ،

            

در مختصات کروی (spherical coordinates) ،

           

تعریف می شود. (Bracewell 1999, p. 85).   

یک بسط سری وار از این تابع در مختصات استوانه بدست می دهد

                  

                                 

پاسخ به برخی معادلات دیفرانسیلی معمولی را می توان برحسب مشتقات  نوشت (Kanwal 1998). برای مثال، تابع دیفرانسیلی

             

دارای پاسخ کلاسیکی

             

و پاسخ توزیعی زیر است

(M. Trott, pers. comm., Jan. 19, 2006). توجه داشته باشید که برخلاف پاسخ های کلاسیکی، یک پاسخ توزیعی به یک معادله ی دیفرانسیلی معمولی مرتبه ی ام احتیاجی به داشتن  ثابت انتگرالگیری متمایز از هم ندارد.

لینک مربوطه: تابع دلتا ۱ (Delta Function)

منابع:

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 481-485, 1985.

Bracewell, R. "The Impulse Symbol." Ch. 5 in The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 69-97, 1999.

Dirac, P. A. M. Quantum Mechanics, 4th ed. London: Oxford University Press, 1958.

Gasiorowicz, S. Quantum Physics. New York: Wiley, pp. 491-494, 1974.

Kanwal, R. P. "Applications to Ordinary Differential Equations." Ch. 6 in Generalized Functions, Theory and Technique, 2nd ed. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 291-255, 1998.

Papoulis, A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 97-98, 1984.

Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Dirac Delta Function ." Ch. 10 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 79-82, 1987.

van der Pol, B. and Bremmer, H. Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1955.

دیورژانس (2)

برای مثال، معادله ی پیوستگی مکانیک سیالات بیان می کند که نرخی که بر اساس آن چگالی در هر عنصر حجمی بینهایت کوچک سیال کاهش می یابد، متناسب با شار جرم (تغییرات پی در پی جرم) بخش های متفاوت سیال که در حال دور شدن از عنصر هستند می باشد و با قاعده ی زیر نشان داده می شود:

                 

که   میدان برداری سرعت سیال است. در موردی معمول که درآن چگالی سیال ثابت است، این رابطه به یک معادله زیبا و موجز تقلیل می یابد

                

که به آسانی می گوید برای اینکه چگالی در سرتاسر سیال ثابت بماند، نبایستی بخش های حاوی ماده سیال در هیچ نقطه ای تشکیل یک گره یا انباشتگی دهند و لذا میدان برداری سرعت های بخش های بوجود آورنده ی سیال برای هر سیستم مادی لازم است که میدانی فاقد دیورژانس (divergenceless field) یا به اصطلاح میدانی بدون واگرایی باشد. 

دیورژانس در نظریه ی الکترومغناطیس نیز در دو معادله از چهار معادله ماکسول حضور دارد

                  

                  

که از واحدهای MKS در اینجا استفاده کرده ایم:  میدان الکتریکی،  اکنون نماینگر چگالی بار الکتریکی،  ثابت تناسب که موسوم به ثابت گذردهی الکترون از خلا و در نهایت  معرف میدان مغناطیسی است.

بعلاوه ی ۲ معادله ی دیگر از مجموعه معادلات ماکسول، اینها قوانینی هستند که به طور بالقوه ویژگی های نسبیتی و کلاسیکی الکترومغناطیس را توصیف می کنند.

لینک مربوطه: دیورژانس ۱

منابع:

Arfken, G. "Divergence, ." §1.7 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 37-42, 1985.

Kaplan, W. "The Divergence of a Vector Field." §3.4 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 185-186, 1991.

Morse, P. M. and Feshbach, H. "The Divergence." In Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 34-37, 1953.

Schey, H. M. Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus, 3rd ed. New

عشق واقعی

درويشي قصه زير را تعريف مي کرد :

يکي بود يکي نبود

مردي بود که زندگي اش را با عشق و محبت پشت سر گذاشته

بود.

وقتي مُرد همه مي گفتند به بهشت رفته است آدم مهرباني

مثـل او حتما ً به بهشت مي رود.

در آن زمان بهشت هنوز به مرحله ي کيفيت فراگير نرسيده بود و

استـقبال از او با تشريفات مناسب انجام نشد .

فرشته نگهباني که بايد او را راه مي داد نگاه سريعي به

فهرست نام ها انداخت و وقتي نام او را نيافت او را به جهنم

فرستاد .

در جهنم هيچ کس از آدم دعوت نامه يا کارت شناسايي نمي

خواهد هر کس به آنجا برسد مي تواند وارد شود.

مَرد وارد شد و آنجا ماند . . .

چند روز بعد شيطان با خشم به دروازه بهشت رفت و يقه فرشته

نگهبان را گرفت و گفت:

« اين کار شما تروريسم خالص است ! »

نگهبان که نمي دانست ماجرا از چه قرار است پرسيد:چه شده

؟

شيطان که از خشم قرمز شده بود گفت :

« آن مَرد را به جهنم فرستاده ايد و آمده وکار و زندگي ما را به

هم زده.از وقتي که رسيده نشسته و به حرف هاي ديگران گوش

مي دهد و به درد و دلشان مي رسد.حالا همه دارند درجهنم با

هم گفت و گو مي کنند يکديگر را در آغوش مي کشند و مي

بوسند.

جهنم جاي اين کارها نيست! لطفا ً اين مَرد را پس بگيريد!! »

وقتي قصه به پايان رسيد درويش گفت:

(( با چنان عشقي زندگي کن که حتي اگر بنا به تصادف در جهنم

افتادي خود شيطان تو را به بهشت بازگرداند ))

 

 

عاشق                           عاشق تر

نبود در تار و پودش ديدي گفت عاشقه عاشق

@@@@@@@@   نبودش  @@@@@@@@@@

امشب همه جا حرف  از آسمون و مهتابه  ،  تموم خونه ديدار اين خونه

فقط خوابه ، تو كه رفتي هواي  خونه تب داره  ،  داره از درو ديوارش غم

عشق تو مي باره ، دارم مي ميرم از بس غصه خوردم ،  بيا بر گرد تا ازعشقت

نمردم، همون كه فكر نمي كردي نمونده پيشت، ديدي رفت ودل ما رو سوزوندش

حيات خونه دل مي گه درخت ها همه خاموشن، به جاي كفتر و  گنجشك  كلاغاي

سياه پوشن ، چراغ خونه  خوابيده  توي  دنياي خاموشي ،   ديگه  ساعت رو

طاقچه شده كارش فراموشي  ، شده كارش فراموشي  ،  ديگه  بارون نمي

باره  اگر چه  ابر سياه  ،  تو كه نيستي  توي  اين خونه ،  ديگه  آشفته

بازاريست  ،  تموم  گل ها خشكيدن مثل خار بيابون ها ،  ديگه  از

رنگ و رو رفته ، كوچه و خيابون ها ،،، من گفتم و يارم گفت

گفتيم و سفر كرديم،از دشت شقايق ها،با عشق گذركرديم

گفتم اگه من مردم ، چقدر به من وفاداري، عشقو

به فراموشي ،چند روزه تو مي سپاري

گفتم كه تو مي دوني،سرخاك

تو مي ميرم ، ولي

تا لحظه مردن

نمي گيرم

دل از

تو

جبر خطی

جبر خطّی شاخه‌ای از ریاضیات است که به بررسی و مطالعۀ ماتریس‌ها، بردارها، فضاهای برداری (فضاهای خطّی)، تبدیلات خطی، و دستگاه‌های‌ معادلات خطی می‌پردازد.

 کاربردها

جبر خطّی و کارائی‌های فراوان و گوناگون آن در ریاضیات و محاسبات گسسته طیف گسترده و وسیعی را شامل می گردد. علاوه بر کاربردهای آن در زمینه‌هایی از خود ریاضیات همانند جبر مجرد، آنالیز تابعی، هندسۀ تحلیلی، و آنالیز عددی، جبر خطّی استفاده‌های وسیعی نیز در فیزیک، [[]] مهندسی، علوم طبیعی، و علوم اجتماعی پیدا‌کرده است.

 مقدمه

آغاز نمودن مبحثی با اهمیت و همه‌جاگیری جبر خطی یکی از دشوار‌ترین کارهاست، چرا که، با جهت‌گیری‌ها، تعبیرات، تعمیمات، و آینده‌بینی‌های زیادی روبرو می‌شویم. شاید یکی از انتخاب‌های مناسب این گونه باشد:

ماتریس و بردار زیر را در نظر می‌گیریم:

با ضرب ماتریس و بردار داریم:

نتیجهٔ فوق را می‌توان در تراز‌های معنائی گوناگونی مورد دقت و بررسی قرار داد. برخی از ملاحظات این گونه است:

ماتریس M به عنوان عمل‌گری بر روی بردار v عمل نموده و آنرا به بردار w تبدیل کرده است. M می‌تواند ثابت انگاشته شده و دستگاهی ساده را نمایندگی کند، که در آن صورت، بردار v اطلاعات یا داده‌هایی را می‌نمایاند که به نوعی به سیستم داده شده است.

سیستم M درست مثل پردازش‌گری اطلاعات را به دانش تبدیل می‌کند. شاید یکی از روشن‌ترین مثال‌های کوتاه برای مفهوم فرایند تبدیل اطلاعات به دانش همین باشد.

 مقادیر خاص

مقالهٔ اصلی: مسئلهٔ مقادیر خاص

مقادیر خاص و بردارهای خاص از جملهٔ پرکاربردترین و جوهری‌ترین مؤلفه‌های ماتریس‌ها و عمل‌گر‌های خطی می‌باشد. مفهوم و عملکرد این اشیاء ریاضی را باید از جنس تلخیص، فشرده‌سازی اطلاعات، و ساده و آسان حل کردن مسائل خطی دشوار دانست.

 فضاهای برداری

مقالهٔ اصلی: فضاهای برداری

از آن‌جا که بسیاری از کمیت‌های فیزیکی مثل نیرو، سرعت، و شتاب هم اندازه (بزرگی) دارند و هم راستا، آن‌ها را بردار نامیده‌اند.

جبر خطی عددی

مقالهٔ اصلی: جبر خطی عددی

 مطالب وابسته

• جبر خطی عددی
• مسئله مقادیر خاص
•  

  جبر خطی عددی (Numerical linear algebra) مطالعۀ الگوریتم‌ها و کاربرد‌های جبر خطّی در زمینه‌های متنوّع محاسبات علمی مدرن را شامل می‌گردد.

   تجزیۀ مقدارهای منفرد

  مقالۀ اصلی: تجزیه مقدارهای منفرد
  تجزیه مقدارهای منفرد (Singular value decomposition) در حکم همان تجزیه مقدارهای خاص (Eigenvalue decomposition) است ولی بیشتر برای ماتریس‌های غیر مربّع. بر خلاف مقدارهای خاص که تنها و تنها در مورد ماتریس‌های مربّع مصداق دارند و می‌توانند منفی نیز باشند، مقدارهای منفرد برای همۀ ماتریس‌ها، چه مربع و چه غیر آن مفهوم دارند و هیچ‌گاه منفی نمی‌شوند

جبر مجرد

جبر مجرّد شاخه‌ای‌ست از ریاضیات که به بررسی ساختارهای جبری مثل گروه، حلقه، و میدان می‌پردازد. آغاز تعریف رسمی این گونه ساختارها به قرن نوزدهم (م) باز می‌گردد.

اصطلاح «جبر مجرّد» در برابر «جبر مقدّماتی» یا «جبر دبیرستانی» به‌کار می‌رود. در حدود نیمه اوّل قرن بیستم این رشته را «جبر مدرن» می‌نامیدند.

جبر مجرد مقدماتی،اشیاء و اعمال ریاضی را،فارغ از ماهیت آنها بررسی می کند. اعداد، توابع، ماتریسها،از عناصر آن و اعمال دوتایی ضرب،ترکیب توابع و ... از اعمال آن به شمار می آیند.دسته بندی گروهها و حلقه ها از موضوعات اساسی این شاخه به حساب می آیند.برخی شاخه های هندسی با جبر مجرد ارتباط پیدا می کنند.

جبر مقدماتی بهمراه جبر مجرد و جبر خطی سه شاخه ی اصلی دستگاه جبر را تشکیل میدهند

تجرید (Abstraction) در ریاضیّات از فرآیند تشخیص و استخراج یک جوهره و مفهوم ریاضی اصلی، کلّی، و فراگیر شروع می‌شود. چنانچه وجود و حضور این جوهره و مفهوم خاصّ در تک تک موارد جزئی مورد بررسی صادق باشد، امر اختصار و ساده‌تر کردن عبارات را می‌توان با جدا نمودن و حذف جزئیّات گوناگون از این لایه خاصّ ادامه داد.

برای مثال، می‌توان عبارت زیر را در نظر گرفت:

دو میز + دو کتاب + دو قلم + دو لیوان + دو دفتر + دو خط کش + ...

جهت اجراء فرایند تجرید، می‌شود مفهوم دو تا بودن را که در مورد همهء جمله‌ها صدق می‌کند، از میان برداشته و آنرا در لایه‌ی بالاتری قرار داد. عبارت فوق خواهد شد:

دو(میز + کتاب + قلم + لیوان + دفتر + خط کش + ...)

عبارت جدید کوتاه‌تر شده است، و مفهوم کلّی تر عدد دو بودن که در آن مجرّد و مجزا شده، هنوز هم به همهء جملات جزئی در درون پرانتز تعلّق دارد. همین کار را، حالا می شود با اعداد دیگر مثل سه، چهار، پنج، شش، و ... تکرار کرد. پس، تراز و لایه‌ای نو پدیدار گردیده‌است که در آن فقط مفاهیم مجردی به این صورت قرار دارد:

دو، سه، چهار، پنج، شش، ...

از خود می‌پرسیم، حالا چه جوهرهء مشترک کلّی‌تری را می‌شود از این لایهء جدید جدا کرد؟ جواب: مفهوم عامّ‌تر و همه‌جا‌گیر‌تر عدد طبیعی بودن را؛ هر عدد طبیعیی بودن را.

این همان شروع و آغاز جبر است. از همین نقطه است که مفهومی مجرّد و ذهنی موسوم به متغیّر تولّد می یابد.

 مطالب وابسته

• تجرید
• جبر مجرّد
• اعداد صحیح
• اعداد گویا